Cas. 1. Agatur enim Dvq abscindens Sectoris ADt & trianguli ADp momenta, seu particulas quam minimas simul descriptas tDv & pDq. Cum particulæ illæ, ob angulum communem D, sunt in duplicata ratione laterum, erit particula tDv ut qDp ÷ pD quad. Sed pD quad. est AD quad. + Ap quad. id est AD quad. + Ak × AD seu AD × Ck; & qDp est ½AD × pq. Ergo Sectoris particula vDt est ut pq ÷ Ck, id est, per Corol. 5, Prop. VIII. ut particula temporis. Et componendo fit summa particularum omnium tDv in Sectore ADt, ut summa particularum temporis singulis velocitatis decrescentis Ap particulis amissis pq respondentium, usq; dum velocitas illa in nihilum diminuta evanuerit; hoc est, Sector totus ADt est ut ascensus totius futuri tempus. Q. E. D.
Cas. 2. Agatur DQV abscindens tum Sectoris DAV, tum trianguli DAQ particulas quam minimas TDV & PDQ; & erunt hæ particulæ ad invicem ut DTq. ad DPq. id est (si TX & AP parallelæ sint) ut DXq. ad DAq. vel TXq. ad APq. & divisim ut DXq. - TXq. ad ADq. - APq. Sed ex natura Hyperbolæ DXq. - TXq. est ADq., & per Hypothesin APq. est AD × AK. Ergo particulæ sunt ad invicem ut ADq. ad ADq. - AD × AK; id est ut AD ad AD - AK seu AC ad CK: ideoq; Sectoris particula TDV est PDQ × AC ÷ CK, atq; adeo ob datas AC & AD, ut PQ ÷ CK; & propterea per Corol. 5. Prop. VIII. Lib. II. ut particula temporis incremento velocitatis PQ respondens. Et componendo fit summa particularum temporis, quibus omnes velocitatis AP particulæ PQ generantur, ut summa particularum Sectoris ADT, id est tempus totum ut Sector totus. Q. E. D.
Corol. 1. Hinc si AB æquetur quartæ parti ipsius AC, spatium ABRP, quod corpus tempore quovis ATD cadendo describit, erit ad spatium quod corpus semisse velocitatis maximæ AC, eodem tempore uniformiter progrediendo describere potest, ut area ABRP, qua spatium cadendo descriptum exponitur, ad aream ATD qua tempus exponitur. Nam cum sit AC ad AP ut AP ad AK, erit 2APQ æquale AC × KL (per Corol. 1. Lem. II. hujus) adeoq; KL ad PQ ut 2AP ad AC, & inde LKN ad PQ × ½AD seu DPQ ut 2AP × KN ad ½AC × AD. Sed erat DPQ ad DTV ut CK ad AC. Ergo ex æquo LKN est ad DTV ut 2AP × KN × CK ad ½AC cub.; id est, ob æquales CKN & ¼ACq., ut AP ad AC; hoc est ut velocitas corporis cadentis ad velocitatem maximam quam corpus cadendo potest acquirere. Cum igitur arearum ABKN & AVD momenta LKN & DTV sunt ut velocitates, erunt arearum illarum partes omnes simul genitæ ut spatia simul descripta, ideoq; areæ totæ ab initio genitæ ABKN & AVD ut spatia tota ab initio descensus descripta. Q. E. D.
Corol. 2. Idem consequitur etiam de spatio quod in ascensu describitur. Nimirum quod spatium illud omne sit ad spatium, uniformi cum velocitate AC eodem tempore descriptum, ut est area ABnk ad Sectorem ADt.
Corol. 3. Velocitas corporis tempore ATD cadentis est ad velocitatem, quam eodem tempore in spatio non resistente acquireret, ut triangulum APD ad Sectorem Hyperbolicum ATD. Nam velocitas in Medio non resistente foret ut tempus ATD, & in Medio resistente est ut AP, id est ut triangulum APD. Et velocitates illæ initio descensus æquantur inter se, perinde ut areæ illæ ATD, APD.
Corol. 4. Eodem argumento velocitas in ascensu est ad velocitatem, qua corpus eodem tempore in spatio non resistente omnem suum ascendendi motum amittere posset, ut triangulum ApD ad Sectorem circularem AtD, sive ut recta Ap ad arcum At.
Corol. 5. Est igitur tempus quo corpus in Medio resistente cadendo velocitatem AP acquirit, ad tempus quo velocitatem maximam AC in spatio non resistente cadendo acquirere posset, ut Sector ADT ad triangulum ADC: & tempus, quo velocitatem Ap in Medio resistente ascendendo possit amittere, ad tempus quo velocitatem eandem in spatio non resistente ascendendo posset amittere, ut arcus At ad ejus Tangentem Ap.
Corol. 6. Hinc ex dato tempore datur spatium ascensu vel descensu descriptum. Nam corporis in infinitum descendentis datur velocitas maxima, per Corol. 2. & 3. Theor. VI, Lib. II. indeq; datur & spatium quod semisse velocitatis illius dato tempore describi potest, & tempus quo corpus velocitatem illam in spatio non resistente cadendo posset acquirere. Et sumendo Sectorem ADT vel ADt ad triangulum ADC in ratione temporum; dabitur tum velocitas AP vel Ap, tum area ABKN vel ABkn, quæ est ad Sectorem ut spatium quæsitum ad spatium jam ante inventum.
Corol. 7. Et regrediendo, ex dato ascensus vel descensus spatio ABnk vel ABNK, dabitur tempus ADt vel ADT.
Prop. X. Prob. III.
Tendat uniformis vis gravitatis directe ad planum Horizontis, sitq; resistentia ut medii densitas & quadratum velocitatis conjunctim: requiritur tum Medii densitas in locis singulis, quæ faciat ut corpus in data quavis linea curva moveatur, tum corporis velocitas in iisdem locis.
Sit AK planum illud plano Schematis perpendiculare; ACK linea curva; C corpus in ipsa motum; & FCf recta ipsam tangens in C. Fingatur autem corpus C nunc progredi ab A ad K per lineam illam ACK, nunc vero regredi per eandem lineam; & in progressu impediri a Medio, in regressu æque promoveri, sic ut in iisdem locis eadem semper sit corporis progredientis & regredientis velocitas. Æqualibus autem temporibus describat corpus progrediens arcum quam minimum CG, & corpus regrediens arcum Cg; & sint CH, Ch longitudines æquales rectilineæ, quas corpora de loco C exeuntia, his temporibus, absq; Medii & Gravitatis actionibus describerent: & a punctis C, G, g, ad planum horizontale AK demittantur perpendicula CB, GD, gd, quorum GD ac gd tangenti occurrant in F & f. Per Medii resistentiam fit ut corpus progrediens, vice longitudinis CH, describat solummodo longitudinem CF; & per vim gravitatis transfertur corpus de F in G: adeoq; lineola HF vi resistentiæ, & lineola FG vi gravitatis simul generantur. Proinde (per Lem. X. Lib. I.) lineola FG est ut vis gravitatis & quadratum temporis conjunctim, adeoq; (ob datam gravitatem) ut quadratum temporis; & lineola HF ut resistentia & quadratum temporis, hoc est ut resistentia & lineola FG. Et inde resistentia fit ut HF directe & FG inverse, sive ut HF ÷ FG. Hæc ita se habent in lineolis nascentibus. Nam in lineolis finitæ magnitudinis hæ rationes non sunt accuratæ.
Et simili argumento est fg ut quadratum temporis, adeoq; ob æqualia tempora æquatur ipsi FG; & impulsus quo corpus regrediens urgetur est ut hf ÷ fg. Sed impulsus corporis regredientis & resistentia progredientis ipso motus initio æquantur, adeoq; & ipsis proportionales hf ÷ fg & HF ÷ FG æquantur; & propterea ob æquales fg & FG, æquantur etiam hf & HF, suntq; adeo CF, CH (vel Ch) & Cf in progressione Arithmetica, & inde HF semidifferentia est ipsarum Cf & CF; & resistentia quæ supra fuit ut HF ÷ FG, est ut {Cf - CF} ÷ FG.
Est autem resistentia ut Medii densitas & quadratum velocitatis. Velocitas autem ut descripta longitudo CF directe & tempus √FG inverse, hoc est ut CF ÷ √FG, adeoq; quadratum velocitatis ut CFq. ÷ FG. Quare resistentia, ipsiq; proportionalis {Cf - CF} ÷ FG est ut Medii densitas & ut CFq. ÷ FG conjunctim; & inde Medii densitas ut {Cf - CF} ÷ FG directe & CFq. ÷ FG inverse, id est ut {Cf - CF} ÷ CFq. Q. E. I.
Corol. 1. Et hinc colligitur, quod si in Cf capiatur Ck æqualis CF, & ad planum horizontale AK demittatur perpendiculum ki, secans curvam ACK in l; fiet Medii densitas ut {FG - kl} ÷ {CF × FG + kl}. Erit enim fC ad kC ut √fg seu √FG ad √kl, & divisim fk ad kC, id est Cf - CF ad CF ut √FG - √kl ad √kl; hoc est (si ducatur terminus uterq; in √FG + √kl) ut FG - kl ad kl + √FG × kl, sive ad FG + kl. Nam ratio prima nascentium kl + √FG × kl & FG + kl est æqualitatis. Scribatur itaq; {FK - Kl} ÷ {FK + Kl} pro {Cf - CF} ÷ CF; & Medii densitas, quæ fuit ut {Cf - CF} ÷ CF quad. evadet ut {FG - kl} ÷ {CF × FG + kl}.
Corol. 2. Unde cum 2HF & Cf - CF æquentur, & FG & kl (ob rationem æqualitatis) componant 2FG; erit 2HF ad CF ut FG - kl ad 2FG; et inde HF ad FG, hoc est resistentia ad gravitatem, ut rectangulum CF in FG - kl ad 4FG quad.
Corol. 3. Et hinc si curva linea definiatur per relationem inter basem seu abscissam AB & ordinatim applicatam BC; (ut moris est) & valor ordinatim applicatæ resolvatur in seriem convergentem: Problema per primos seriei terminos expedite solvetur: ut in Exemplis sequentibus.
Exempl. 1. Sit Linea ACK semicirculus super diametro AK descriptus, & requiratur Medii densitas quæ faciat ut Projectile in hac linea moveatur.
Bisecetur semicirculi diameter AK in O; & dic OK n, OB a, BC e, & BD vel Bi o: & erit DGq. seu OGq. - ODq. æquale nn - aa - 2ao - oo seu ee - 2ao - oo; & radice per methodum nostram extracta, fiet DG = e - ao ÷ e - oo ÷ 2e - aaoo ÷ 2e3 - ao3 ÷ 2e3 - a3o3 ÷ 2e5 &c. Hic scribatur nn pro ee + aa & evadet DG = e - ao ÷ e - nnoo ÷ 2e3 - anno3 ÷ 2e5 &c.
Hujusmodi Series distinguo in terminos successivos in hunc modum. Terminum primum appello in quo quantitas infinite parva o non extat; secundum in quo quantitas illa extat unius dimensionis; tertium in quo extat duarum, quartum in quo trium est, & sic in infinitum. Et primus terminus, qui hic est e, denotabit semper longitudinem ordinatæ BC insistentis ad indefinitæ quantitatis initium B; secundus terminus qui hic est ao ÷ e, denotabit differentiam inter BC & DF, id est lineolam IF, quæ abscinditur complendo parallelogrammum BC - ID, atq; adeo positionem Tangentis CF semper determinat: ut in hoc casu capiendo IF ad IC ut est ao ÷ e ad o seu a ad e. Terminus tertius, qui hic est nnoo ÷ 2e3 designabit lineolam FG, quæ jacet inter Tangentem & Curvam, adeoq; determinat angulum contactus FCG, seu curvaturam quam curva linea habet in C. Si lineola illa FG finitæ est magnitudinis, designabitur per terminum tertium una cum subsequentibus in infinitum. At si lineola illa minuatur in infinitum, termini subsequentes evadent infinite minores tertio, ideoq; negligi possunt. Terminus quartus, qui hic est anno3 ÷ 2e5, exhibet variationem Curvaturæ; quintus variationem variationis, & sic deinceps. Unde obiter patet usus non contemnendus harum Serierum in solutione Problematum, quæ pendent a Tangentibus & curvatura Curvarum.
Præterea CF est latus quadratum ex CIq. & IFq. hoc est ex BDq. & quadrato termini secundi. Estq; FG + kl æqualis duplo termini tertii, & FG - kl æqualis duplo quarti. Nam valor ipsius DG convertitur in valorem ipsius il, & valor ipsius FG in valorem ipsius kl, scribendo Bi pro BD, seu -o pro +o. Proinde cum FG sit - nnoo ÷ 2e3 - anno3 ÷ 2e5 &c. erit kl = - nnoo ÷ 2e3 + anno3 ÷ 2e5, &c. Et horum summa est - nnoo ÷ e3, differentia - anno3 ÷ e5. Terminum quintum & sequentes hic negligo, ut infinite minores quam qui in hoc Problemate considerandi veniant. Itaq; si designetur Series universaliter his terminis ± Qo - Roo - So3 &c. erit CF æqualis √oo + QQoo, FG + kl æqualis 2Roo, & FG - kl æqualis 2So3. Pro CF, FG + kl & FG - kl scribantur hi earum valores, & Medii densitas quæ erat ut {FG - kl} ÷ {CF in FG + kl} jam fiet ut S ÷ {R √1 + QQ}. Deducendo igitur Problema unumquodq; ad seriem convergentem, & hic pro Q, R & S scribendo terminos seriei ipsis respondentes; deinde etiam ponendo resistentiam Medii in loco quovis G esse ad Gravitatem ut S√1 + QQ ad 2RR, & velocitatem esse illam ipsam quacum corpus, de loco C secundum rectam CF egrediens, in Parabola, diametrum CB & latus rectum {1 + QQ} ÷ R habente, deinceps moveri posset, solvetur Problema.
Sic in Problemate jam solvendo, si scribantur √1 + aa ÷ ee seu n ÷ e pro √1 + QQ, nn ÷ 2e3 pro R, & ann ÷ 2e3 pro S, prodibit Medii densitas ut a ÷ ne, hoc est (ob datam n) ut a ÷ e seu OB ÷ BC, id est ut Tangentis longitudo illa CT, quæ ad semidiametrum OL ipsi AK normaliter insistentem terminatur, & resistentia erit ad gravitatem ut a ad n, id est ut OB ad circuli semidiametrum OK, velocitas autem erit ut √2BC. Igitur si corpus C certa cum velocitate, secundum lineam ipsi OK parallelam, exeat de loco L, & Medii densitas in singulis locis C sit ut longitudo tangentis CT, & resistentia etiam in loco aliquo C sit ad vim gravitatis ut OB ad OK; corpus illud describet circuli quadrantem LCK. Q. E. I.
At si corpus idem de loco A secundum lineam ipsi AK perpendicularem egrederetur, sumenda esset OB seu a ad contrarias partes centri O, & propterea signum ejus mutandum esset, & scribendum -a pro +a. Quo pacto prodiret Medii densitas ut -a ÷ e. Negativam autem densitatem (hoc est quæ motus corporum accelerat) Natura non admittit, & propterea naturaliter fieri non potest ut corpus ascendendo ab A describat circuli quadrantem AL. Ad hunc effectum deberet corpus a Medio impellente accelerari, non a resistente impediri.
Exempl. 2. Sit linea ALCK Parabola, axem habens OL horizonti AK perpendicularem, & requiratur Medii densitas quæ faciat ut projectile in ipsa moveatur.
Ex natura Parabolæ, rectangulum ADK æquale est rectangulo sub ordinata DG & recta aliqua data: hoc est, si dicantur recta illa b, AB a, AK c, BC e & BD o; rectangulum a + o in c - a - o seu ac - aa - 2ao + co - oo æquale est rectangulo b in DG, adeoq; DG æquale {ac - aa} ÷ b + {{c - 2a} ÷ b}o - oo ÷ b. Jam scribendus esset hujus seriei secundus terminus {{c - 2a} ÷ b} o pro Qo, & ejus coefficiens {c - 2a} ÷ b pro Q; tertius item terminus oo ÷ b pro Roo, & ejus coefficiens 1 ÷ b pro R. Cum vero plures non sint termini, debebit quarti termini So3 coefficiens S evanescere, & propterea quantitas S ÷ {R√1 + QQ} cui Medii densitas proportionalis est, nihil erit. Nulla igitur Medii densitate movebitur Projectile in Parabola, uti olim demonstravit Galilæus. Q. E. I.
Exempl. 3. Sit linea AGK Hyperbola, Asymptoton habens NX plano horizontali AK perpendicularem; & quæratur Medii densitas quæ faciat ut Projectile moveatur in hac linea.
Sit MX Asymptotos altera, ordinatim applicatæ DG productæ occurrens in V, & ex natura Hyperbolæ, rectangulum XV in VG dabitur. Datur autem ratio DN ad VX, & propterea datur etiam rectangulum DN in VG. Sit illud bb; & completo parallelogrammo DNXZ, dicatur BN a, BD o, NX c, & ratio data VZ ad ZX vel DN ponatur esse m ÷ n. Et erit DN æqualis a - o, VG æqualis bb ÷ {a - o}, VZ æqualis m ÷ n a - o, & GD seu NX - VZ - VG æqualis c - {m ÷ n}a + {m ÷ n}o - bb ÷ {a - o}. Resolvatur terminus bb ÷ {a - o} in seriem convergentem bb ÷ a + {bb ÷ aa}o + {bb ÷ a3}oo + {bb ÷ a4}o3 etc. & fiet GD æqualis c - {m ÷ n}a - bb ÷ a + {m ÷ n}o - {bb ÷ aa}o - {bb ÷ a3}o2 - {bb ÷ a4}o3 &c. Hujus seriei terminus secundus {m ÷ n}o - {bb ÷ aa}o usurpandus est pro Qo, tertius cum signo mutato {bb ÷ a3}o2 pro Ro2, & quartus cum signo etiam mutato {bb ÷ a4}o3 pro So3, eorumq; coefficientes m ÷ n - bb ÷ aa, bb ÷ a3 & bb ÷ a4 scribendæ sunt, in Regula superiore, pro Q, R & S. Quo facto prodit medii densitas ut
| |||||||||||||||||
|
seu
| 1 | ||||||||||||||||
|
est, si in VZ sumatur VY æqualis VG, ut 1 ÷ XY. Namq; aa & {mm ÷ nn}aa - 2mbb ÷ n + b4 ÷ aa sunt ipsarum XZ & ZY quadrata. Resistentia autem invenitur in ratione ad Gravitatem quam habet XY ad YG, & velocitas ea est quacum corpus in Parabola pergeret verticem G diametrum DG & latus rectum YX quad. ÷ VG habente. Ponatur itaq; quod Medii densitates in locis singulis G sint reciproce ut distantiæ XY, quodq; resistentia in loco aliquo G sit ad gravitatem ut XY ad YG; & corpus de loco A justa cum velocitate emissum describet Hyperbolam illam AGK. Q. E. I.
Exempl. 4. Ponatur indefinite, quod linea AGK Hyperbola sit, centro X Asymptotis MX, NX, ea lege descripta, ut constructo rectangulo XZDN cujus latus ZD secet Hyperbolam in G & Asymptoton ejus in V, fuerit VG reciproce ut ipsius ZX vel DN dignitas aliqua NDn, cujus index est numerus n: & quæratur Medii densitas, qua Projectile progrediatur in hac curva.
Pro DN, BD, NX scribantur A, O, C respective, sitq; VZ ad ZX vel DN ut d ad e, & VG æqualis bb ÷ DNn, & erit DN æqualis A - O, VG = bb ÷ {A - O}n, VZ = d ÷ e in A - O, & GD seu NX - VZ - VG æqualis C - {d ÷ e}A + {d ÷ e}O - bb ÷ {A - O}n. Resolvatur terminus ille bb ÷ {A - O}n in seriam infinitam
| bb | + | nbbO | + | nn + n | bbO2 + | n3 + 3nn + 2n | bbO3 &c. |
| An | An+1 | 2An+2 | 6An+3 |
ac fiet GD æqualis
| C - | d | A - | bb | + | d | O - | nbb | O - | nn + n | bbO2 - | n3 + 3nn + 2n | bbO3 | &c. |
| e | An | e | An+1 | 2An+2 | 6An+3 |
Hujus seriei terminus secundus {d ÷ e}O - {nbb ÷ An+1}O usurpandus est pro Qo, tertius {{nn + n} ÷ 2An+2}bbO2 pro Ro2, quartus {{n3 + 3nn + 2n} ÷ 6An+3}bbO3 pro So3. Et inde Medii densitas S ÷ {R × √1 + QQ}, in loco quovis G, fit
| n + 2 | ||||||||||||||||
|
adeoq; si in VZ capiatur VY æqualis n × VG, est reciproce ut XY. Sunt enim A2 & {dd ÷ ee}A2 - 2dnbb ÷ eAn in A + nnb4 ÷ A2n ipsarum XZ & ZY quadrata. Resistentia autem in eodem loco G fit ad Gravitatem ut S in XY ÷ A ad 2RR, id est XY ad {{3nn + 3n} ÷ {n + 2}}VG. Et velocitas ibidem ea ipsa est quacum corpus projectum in Parabola pergeret, verticem G, diametrum GD & Latus rectum {1 + QQ} ÷ R seu 2XY quad. ÷ {nn + n in VG} habente. Q. E. I.
Scholium.
Quoniam motus non fit in Parabola nisi in Medio non resistente, in Hyperbolis vero hic descriptis fit per resistentiam perpetuam; perspicuum est quod linea, quam Projectile in Medio uniformiter resistente describit, propius accedit ad Hyperbolas hasce quam ad Parabolam. Est utiq; linea illa Hyperbolici generis, sed quæ circa verticem magis distat ab Asymptotis; in partibus a vertice remotioribus propius ad ipsas accedit quam pro ratione Hyperbolarum quas hic descripsi. Tanta vero non est inter has & illam differentia, quin illius loco possint hæ in rebus practicis non incommode adhiberi. Et utiliores forsan futuræ sunt hæ, quam Hyperbola magis accurata & simul magis composita. Ipsæ vero in usum sic deducentur.
Compleatur parallelogrammum XYGT, & ex natura harum Hyperbolarum facile colligitur quod recta GT tangit Hyperbolam in G, ideoq; densitas Medii in G est reciproce ut tangens GT, & velocitas ibidem ut √{GTq. ÷ GV}, resistentia autem ad vim gravitatis ut GT ad {{3nn + 3n} ÷ {n + 2}}GV.
Proinde si corpus de loco A secundum rectam AH projectum describat Hyperbolam AGK, & AH producta occurrat Asymptoto NX in H, actaq; AI occurrat alteri Asymptoto MX in I: erit Medii densitas in A reciproce ut AH, & corporis velocitas ut √{AHq. ÷ AI}, ac resistentia ibidem ad Gravitatem ut AH ad {3nn + 3n} ÷ {n + 2} in AI. Unde prodeunt sequentes Regulæ.
Reg. 1. Si servetur Medii densitas in A & mutetur angulus NAH, manebunt longitudines AH, AI, HX. Ideoq; si longitudines illæ in aliquo casu inveniantur, Hyperbola deinceps ex dato quovis angulo NAH expedite determinari potest.
Reg. 2. Si servetur tum angulus NAH tum Medii densitas in A, & mutetur velocitas quacum corpus projicitur; servabitur longitudo AH, & mutabitur AI in duplicata ratione velocitatis reciproce.
Reg. 3. Si tam angulus NAH quam corporis velocitas in A, gravitasq; acceleratrix servetur, & proportio resistentiæ in A ad gravitatem motricem augeatur in ratione, quacunque: augebitur proportio AH ad AI eadem ratione, manente Parabolæ latere recto, eiq; proportionali longitudine AHq. ÷ AI; & propterea minuetur AH in eadem ratione, & AI minuetur in ratione illa duplicata. Augetur vero proportio resistentiæ ad pondus, ubi vel gravitas specifica sub æquali magnitudine fit minor, vel Medii densitas major, vel resistentia, ex magnitudine diminuta, diminuitur in minore ratione quam pondus.
Reg. 4. Quoniam densitas Medii prope verticem Hyperbolæ major est quam in loco A, ut servetur densitas mediocris, debet ratio minimæ tangentium GT ad Tangentem AH inveniri, & densitas in A, per Regulam tertiam, diminui in ratione paulo minore quam semisummæ Tangentium ad Tangentium AH.
Reg. 5. Si dantur longitudines AH, AI, & describenda sit figura AGK: produc HN ad X, ut sit HX æqualis facto sub n + 1 & AI; centroq; X & Asymptotis MX, NX per punctum A describatur Hyperbola, ea lege ut sit AI ad quamvis VG ut XVn ad XIn.
Reg. 6. Quo major est numerus n, eo magis accuratæ sunt hæ Hyperbolæ in ascensu corporis ab A, & minus accuratæ in ejus descensu ad G; & contra. Hyperbola Conica mediocrem rationem tenet, estq; cæteris simplicior. Igitur si Hyperbola sit hujus generis, & punctum K, ubi corpus projectum incidet in rectam quamvis AN per punctum A transeuntem, quæratur: occurrat producta AN Asymptotis MX, NX in M & N, & sumatur NK ipsi AM æqualis.
Reg. 7. Et hinc liquet methodus expedita determinandi hanc Hyperbolam ex Phænomenis. Projiciantur corpora duo similia & æqualia eadem velocitate, in angulis diversis HAK, hAk, incidentq; in planum Horizontis in K & k; & notetur proportio AK ad Ak. Sit ea d ad e. Tum erecto cujusvis longitudinis perpendiculo AI, assume utcunq; longitudinem AH vel Ah, & inde collige graphice longitudines AK, Ak, per Reg. 6. Si ratio AK ad Ak sit eadem cum ratione d ad e, longitudo AH recte assumpta fuit. Sin minus cape in recta infinita SM longitudinem SM æqualem assumptæ AH, & erige perpendiculum MN æquale rationum differentiæ AK ÷ Ak - d ÷ e ductæ in rectam quamvis datam. Simili methodo ex assumptis pluribus longitudinibus AH invenienda sunt plura puncta N: & tum demum si per omnia agatur Curva linea regularis NNXN, hæc abscindet SX quæsitæ longitudini AH æqualem. Ad usus Mechanicos sufficit longitudines AH, AI easdem in angulis omnibus HAK retinere. Sin figura ad inveniendam resistentiam Medij accuratius determinanda sit, corrigendæ sunt semper hæ longitudines per Regulam quartam.
Reg. 8. Inventis longitudinibus AH, HX; si jam desideretur positio rectæ AH, secundum quam Projectile data illa cum velocitate emissum incidit in punctum quodvis K: ad puncta A & K erigantur rectæ AC, KF horizonti perpendiculares, quarum AC deorsum tendat, & æquetur ipsi AI seu ½HX. Asymptotis AK, KF describatur Hyperbola, cujus Conjugata transeat per punctum C, centroq; A & intervallo AH describatur Circulus secans Hyperbolam illam in puncto H; & projectile secundum rectam AH emissum incidet in punctum K. Q. E. I. Nam punctum H, ob datam longitudinem AH, locatur alicubi in circulo descripto. Agatur CH occurrens ipsis AK & KF, illi in C, huic in F, & ob parallelas CH, MX & æquales AC, AI, erit AE æqualis AM, & propterea etiam æqualis KN. Sed CE est ad AE ut FH ad KN, & propterea CE & FH æquantur. Incidit ergo punctum H in Hyperbolam Asymptotis AK, KF descriptam, cujus conjugata transit per punctum C, atq; adeo reperitur in communi intersectione Hyperbolæ hujus & circuli descripti. Q. E. D. Notandum est autem quod hæc operatio perinde se habet, sive recta AKN horizonti parallela sit, sive ad horizontem in angulo quovis inclinata: quodq; ex duabus intersectionibus H, H duo prodeunt anguli NAH, NAH, quorum minor eligendus est; & quod in Praxi mechanica sufficit circulum semel describere, deinde regulam interminatam CH ita applicare ad punctum C, ut ejus pars FH, circulo & rectæ FK interjecta, æqualis sit ejus parti CE inter punctum C & rectam HK sitæ.
Quæ de Hyperbolis dicta sunt facile applicantur ad Parabolas. Nam si XAGK Parabolam designet quam recta XV tangat in vertice X, sintq; ordinatim applicatæ IA, VG ut quælibet abscissarum XI, XV dignitates XIn, XVn; agantur XT, TG, HA, quarum XT parallela sit VG, & TG, HA parabolam tangant in G & A: & corpus de loco quovis A, secundum rectam AH productam, justa cum velocitate projectum, describet hanc Parabolam, si modo densitas Medij, in locis singulis G, sit reciproce ut tangens GT. Velocitas autem in G ea erit quacum Projectile pergeret, in spatio non resistente, in Parabola Conica, verticem G, diametrum VG deorsum productam, & latus rectum √{2TGq. ÷ {nn - n XVG}} habente. Et resistentia in G erit ad vim Gravitatis ut TG ad {{3nn - 3n} ÷ {n - 2}}VG. Vnde si NAK lineam horizontalem designet, & manente tum densitate Medij in A, tum velocitate quacum corpus projicitur, mutetur utcunq; angulus NAH; manebunt longitudines AH, AI, HX, & inde datur Parabolæ vertex X, & positio rectæ XI, & sumendo VG ad IA ut XVn ad XIn, dantur omnia Parabolæ puncta G, per quæ Projectile transibit.
SECT. III.
De motu corporum quæ resistuntur partim in ratione velocitatis, partim in ejusdem ratione duplicata.
Prop. XI. Theor. VIII.
Si corpus resistitur partim in ratione velocitatis, partim in velocitatis ratione duplicata, & sola vi insita in Medio similari movetur, sumantur autem tempora in progressione Arithmetica: quantitates velocitatibus reciproce proportionales, data quadam quantitate auctæ, erunt in progressione Geometrica.
Centro C, Asymptotis rectangulis CADd & CH describatur Hyperbola BEeS, & Asymptoto CH parallelæ sint AB, DE, de. In Asymptoto CD dentur puncta A, G: Et si tempus exponatur per aream Hyperbolicam ABED uniformiter crescentem; dico quod velocitas exponi potest per longitudinem DF, cujus reciproca GD una cum data CG componat longitudinem CD in progressione Geometrica crescentem.
Sit enim areola DEed datum temporis incrementum quam minimum, & erit Dd reciproce ut DE, adeoque directe ut CD. Ipsius autem 1 ÷ GD decrementum, quod (per hujus Lem. II.) est Dd ÷ GDq. erit ut CD ÷ GDq. seu {CG + GD} ÷ GDq., id est, ut {1 ÷ GD} + {CG ÷ GDq.}. Igitur tempore ABED per additionem datarum particularum EDde uniformiter crescente, decrescit 1 ÷ GD in eadem ratione cum velocitate. Nam decrementum velocitatis est ut resistentia, hoc est (per Hypothesin) ut summa duarum quantitatum, quarum una est ut velocitas, altera ut quadratum velocitatis; & ipsius 1 ÷ GD decrementum est ut summa quantitatum 1 ÷ GD & CG ÷ GDq., quarum prior est ipsa 1 ÷ GD, & posterior CG ÷ GDq. est ut 1 ÷ GDq.. Proinde 1 ÷ GD, ob analogum decrementum, est ut velocitas. Et si quantitas GD ipsi 1 ÷ GD reciproce proportionalis quantitate data CG augeatur, summa CD, tempore ABED uniformiter crescente, crescet in progressione Geometrica. Q. E. D.
Corol. 1. Igitur si datis punctis A, G, exponatur tempus per aream Hyperbolicam ABED, exponi potest velocitas per ipsius GD reciprocam 1 ÷ GD.
Corol. 2. Sumendo autem GA ad GD ut velocitatis reciproca sub initio, ad velocitatis reciprocam in fine temporis cujusvis ABED, invenietur punctum G. Eo autem invento, velocitas ex dato quovis alio tempore inveniri potest.
Prop. XII. Theor. IX.
Iisdem positis, dico quod si spatia descripta sumantur in progressione Arithmetica, velocitates data quadam quantitate auctæ erunt in progressione Geometrica.
In Asymptoto CD detur punctum R, & erecto perpendiculo RS, quod occurrat Hyperbolæ in S, exponatur descriptum spatium per aream Hyperbolicam RSED; & velocitas erit ut longitudo GD, quæ cum data CG componit longitudinem CD, in Progressione Geometrica decrescentem, interea dum spatium RSED augetur in Arithmetica.
Etenim ob datum spatii incrementum EDde, lineola Dd, quæ decrementum est ipsius GD, erit reciproce ut ED, adeoq; directe ut CD, hoc est ut summa ejusdem GD & longitudinis datæ CG. Sed velocitatis decrementum, tempore sibi reciproce proportionali, quo data spatii particula DdeE describitur, est ut resistentia & tempus conjunctim, id est directe ut summa duarum quantitatum, quarum una est velocitas, altera ut velocitatis quadratum, & inverse ut velocitas; adeoque directe ut summa dearum quantitatum, quarum una datur, altera est ut velocitas. Igitur decrementum tam velocitatis quam lineæ GD, est ut quantitas data & quantitas decrescens conjunctim, & propter analoga decrementa, analogæ semper erunt quantitates decrescentes: nimirum velocitas & linea GD. Q. E. D.
Corol. 1. Igitur si velocitas exponatur per longitudinem GD, spatium descriptum erit ut area Hyperbolica DESR.
Corol. 2. Et si utcunque assumatur punctum R, invenietur punctum G, capiendo GD ad GR ut est velocitas sub initio ad velocitatem post spatium quodvis ABED descriptum. Invento autem puncto G, datur spatium ex data velocitate, & contra.
Corol. 3. Unde cum, per Prop. XI. detur velocitas ex dato tempore, & per hanc Propositionem detur spatium ex data velocitate; dabitur spatium ex dato tempore: & contra.
Prop. XIII. Theor. X.
Posito quod corpus ab uniformi gravitate deorsum attractum recta ascendit vel descendit, & resistitur partim in ratione velocitatis, partim in ejusdem ratione duplicata: dico quod si Circuli & Hyperbolæ diametris parallelæ rectæ per conjugatarum diametrorum terminos ducantur, & velocitates sint ut segmenta quædam parallelarum a dato puncto ducta, Tempora erunt ut arearum Sectores, rectis a centro ad segmentorum terminos ductis abscissi: & contra.
Cas. 1. Ponamus primo quod corpus ascendit, centroque D & semidiametro quovis DB describatur circuli quadrans BETF, & per semidiametri DB terminum B agatur infinita BAP, semidiametro DF parallela. In ea detur punctum A, & capiatur segmentum AP velocitati proportionale. Et cum resistentiæ pars aliqua sit ut velocitas & pars altera ut velocitatis quadratum, fit resistentia tota in P ut AP quad. + 2PAB. Jungantur DA, DP circulum secantes in E ac T, & exponatur gravitas per DA quadratum, ita ut sit gravitas ad resistentiam in P ut DAq. ad APq. + 2PAB: & tempus ascensus omnis futuri erit ut circuli sector EDTE.
Agatur enim DVQ, abscindens & velocitatis AP momentum PQ, & Sectoris DET momentum DTV dato temporis momento respondens: & velocitatis decrementum illud PQ erit ut summa virium gravitatis DBq. & resistentiæ APq. + 2BAP, id est (per Prop. 12. Lib. II. Elem.) ut DP quad. Proinde area DPQ, ipsi PQ proportionalis, est ut DP quad.; & area DTV, (quæ est ad aream DPQ ut DTq. ad DPq.) est ut datum DTq. Decrescit igitur area EDT uniformiter ad modum temporis futuri, per subductionem datarum particularum DTV, & propterea tempori ascensus futuri proportionalis est. Q. E. D.
Cas. 2. Si velocitas in ascensu corporis exponatur per longitudinem AP ut prius, & resistentia ponatur esse ut APq. + 2BAP, & si vis gravitatis minor sit quam quæ per DAq. exponi possit; capiatur BD ejus longitudinis, ut sit ABq. - BDq. gravitati proportionale, sitque DF ipsi DB perpendicularis & æqualis, & per verticem F describatur Hyperbola FTVE cujus semidiametri conjugatæ sint DB & DF, quæq; secet DA in E, & DP, DQ in T & V; & erit tempus ascensus futuri ut Hyperbolæ sector TDE.
Nam velocitatis decrementum PQ, in data temporis particula factum, est ut summa resistentiæ APq. + 2ABP & gravitatis ABq. - BDq. id est ut BPq. - BDq. Est autem area DTV ad aream DPQ ut DTq. ad DPq. adeoque, si ad DF demittatur perpendiculum GT, ut GTq. seu GDq. - DFq. ad BDq. utque GDq. ad PBq. & divisim ut DFq. ad BPq. - DBq. Quare cum area DPQ sit ut PQ, id est ut BPq. - BDq. erit area DTV ut datum DFq. Decrescit igitur area EDT uniformiter singulis temporis particulis æqualibus, per subductionem particularum totidem datarum DTV, & propterea tempori proportionalis est. Q. E. D.
Cas. 3. Sit AP velocitas in descensu corporis, & APq. + 2ABP resistentia, & DBq. - ABq. vis gravitatis, existente angulo DAB recto. Et si centro D, vertice principali B, describatur Hyperbola rectangula BETV secans productas DA, DP & DQ in E, T & V; erit Hyperbolæ hujus sector DET ut tempus descensus.
Nam velocitatis incrementum PQ, eiq; proportionalis area DPQ, est ut excessus gravitatis supra resistentiam, id est, ut DBq. - ABq. - 2ABP - APq. seu DBq. - BPq. Et area DTV est ad aream DPQ ut DTq. ad DPq. adeoq; ut GTq. seu GDq. - BDq. ad BPq. utque GDq. ad BDq. & divisim ut BDq. ad BDq. - BPq. Quare cum area DPQ sit ut BDq. - BPq. erit area DTV ut datum BDq. Crescit igitur area EDT uniformiter singulis temporis particulis æqualibus, per additionem totidem datarum particularum DTV, & propterea tempori descensus proportionalis est. Q. E. D.
Corol. Igitur velocitas AP est ad velocitatem quam corpus tempore EDT, in spatio non resistente, ascendendo amittere vel descendendo acquirere posset, ut area trianguli DAP ad aream sectoris centro D, radio DA, angulo ADT descripti; ideoque ex dato tempore datur. Nam velocitas in Medio non resistente, tempori atque adeo Sectori huic proportionalis est; in Medio resistente est ut triangulum; & in Medio utroq; ubi quam minima est, accedit ad rationem æqualitatis, pro more Sectoris & Trianguli.
Prop. XIV. Prob. IV.
Iisdem positis, dico quod spatium ascensu vel descensu descriptum, est ut summa vel differentia areæ per quam tempus exponitur, & areæ cujusdam alterius quæ augetur vel diminuitur in progressione Arithmetica; si vires ex resistentia & gravitate compositæ sumantur in progressione Geometrica.
Capiatur AC (in Fig. tribus ultimis,) gravitati, & AK resistentiæ proportionalis. Capiantur autem ad easdem partes puncti A si corpus ascendit, aliter ad contrarias. Erigatur Ab quæ sit ad DB ut DBq. ad 4BAC: & area AbNK augebitur vel diminuetur in progressione Arithmetica, dum vires CK in progressione Geometrica sumuntur. Dico igitur quod distantia corporis ab ejus altitudine maxima sit ut excessus areæ AbNK supra aream DET.
Nam cum AK sit ut resistentia, id est ut APq. + 2BAP; assumatur data quævis quantitas Z, & ponatur AK æqualis {APq. + 2BAP} ÷ Z; & (per hujus Lem. II.) erit ipsius AK momentum KL æquale {2APQ + 2BA × PB} ÷ Z seu 2BPQ ÷ Z, & areæ AbNK momentum KLON æquale 2BPQ × LO ÷ Z seu {BPQ × BD cub.} ÷ {2Z × CK × AB}.
Cas. 1. Jam si corpus ascendit, sitque gravitas ut ABq. + BDq. existente BET circulo, (in Fig. Cas. 1. Prop. XIII.) linea AC, quæ gravitati proportionalis est, erit {ABq. + BDq.} ÷ Z & DPq. seu APq. + 2BAP + ABq. + BDq. erit AK × Z + AC × Z seu CK × Z; ideoque area DTV erit ad aream DPQ ut DTq. vel DBq. ad CK × Z.
Cas. 2. Sin corpus ascendit, & gravitas sit ut ABq. - BDq. linea AC (Fig. Cas. 2. Prop. XIII.) erit {ABq. - BDq.} ÷ Z, & DTq. erit ad DPq. ut DFq. seu DBq. ad BPq. - BDq. seu APq. + 2BAP + ABq. - BDq. id est ad AK × Z + AC × Z seu CK × Z. Ideoque area DTV erit ad aream DPQ ut DBq. ad CK × Z.
Cas. 3. Et eodem argumento, si corpus descendit, & propterea gravitas sit ut BDq. - ABq. & linea AC (Fig. Cas. 3. Prop. præced.) æquetur {BDq. - ABq.} ÷ Z erit area DTV ad aream DPQ ut DBq. ad CK × Z: ut supra.
Cum igitur areæ illæ semper sint in hac ratione; si pro area DTV, qua momentum temporis sibimet ipsi semper æquale exponitur, scribatur determinatum quodvis rectangulum, puta BD × m, erit area DPQ, id est, ½BD × PQ; ad BD × m ut CK in Z ad BDq. Atq; inde fit PQ in BD cub. æquale 2BD × m × CK × Z, & areæ AbNK momentum KLON superius inventum, fit BP × BD × m ÷ AB. Auferatur areæ DET momentum DTV seu BD × m, & restabit AP × BD × m ÷ AB. Est igitur differentia momentorum, id est, momentum differentiæ arearum, æqualis AP × BD × m ÷ AB; & propterea (ob datum BD × m ÷ AB) ut velocitas AP, id est ut momentum spatii quod corpus ascendendo vel descendendo describit. Ideoque differentia arearum & spatium illud proportionalibus momentis crescentia vel decrescentia, & simul incipientia vel simul evanescentia, sunt proportionalia. Q. E. D.
Corol. Igitur si longitudo aliqua V sumatur in ea ratione ad arcum ET, quam habet linea DA ad lineam DE; spatium quod corpus ascensu vel descensu toto in Medio resistente describit, erit ad spatium quod in Medio non resistente eodem tempore describere posset, ut arearum illarum differentia ad BD × V2 ÷ 4AB, ideoque ex dato tempore datur. Nam spatium in Medio non resistente est in duplicata ratione temporis, sive ut V2, & ob datas BD & AB, ut BD × V2 ÷ 4AB. Tempus autem est ut DET seu ½BD × ET, & harum arearum momenta sunt ut BD × V ÷ 2AB ductum in momentum ipsius V & ½BD ductum in momentum ipsius ET, id est, ut BD × V ÷ 2AB in DAq. × 2m ÷ DEq. & ½BD × 2m, sive ut {BD × V × DAq. × m} ÷ {AB × DEq.} & BD × m. Et propterea momentum areæ V2 est ad momentum differentiæ arearum DET & AKNb, ut {BD × V × DA × m} ÷ {AB × DE} ad AP × BD × m ÷ AB sive ut V × DA ÷ DE ad AP; adeoque, ubi V & AP quam minimæ sunt, in ratione æqualitatis. Æqualis igitur est area quam minima BD × V2 ÷ 4AB differentiæ quam minimæ arearum DET & AKNb. Unde cum spatia in Medio utroque, in principio descensus vel fine ascensus simul descripta accedunt ad æqualitatem, adeoque tunc sunt ad invicem ut area BD × V2 ÷ 4AB & arearum DET & AKNb differentia; ob eorum analoga incrementa necesse est ut in æqualibus quibuscunque temporibus sint ad invicem ut area illa BD × V2 ÷ 4AB & arearum DET & AKNb differentia. Q. E. D.
SECT. IV.
De Corporum circulari Motu in Mediis resistentibus.
LEM. III.
Sit PQRr Spiralis quæ secet radios omnes SP, SQ, SR, &c. in æqualibus angulis. Agatur recta PT quæ tangat eandem in puncto quovis P, secetque radium SQ in T; & ad Spiralem erectis perpendiculis PO, QO concurrentibus in O, jungatur SO. Dico quod si puncta P & Q accedant ad invicem & coeant, angulus PSO evadet rectus, & ultima ratio rectanguli TQ × PS ad PQ quad. erit ratio æqualitatis.
Etenim de angulis rectis OPQ, OQR subducantur anguli æquales SPQ, SQR, & manebunt anguli æquales OPS, OQS. Ergo circulus qui transit per puncta O, S, P transibit etiam per punctum Q. Coeant puncta P & Q, & hic circulus in loco coitus PQ tanget Spiralem, adeoque perpendiculariter secabit rectam OP. Fiet igitur OP diameter circuli hujus, & angulus OSP in semicirculo rectus. Q. E. D.
Ad OP demittantur perpendicula QD, SE, & linearum rationes ultimæ erunt hujusmodi: TQ ad PD ut TS vel PS ad PE, seu PO ad PS. Item PD ad PQ ut PQ ad PO. Et ex æquo perturbate TQ ad PQ ut PQ ad PS. Unde fit PQq. æqualis TQ × PS. Q. E. D.
Prop. XV. Theor. XI.
Si Medii densitas in locis singulis sit reciproce ut distantia locorum a centro immobili, sitque vis centripeta in duplicata ratione densitatis: dico quod corpus gyrari potest in Spirali, quæ radios omnes a centro illo ductos intersecat in angulo dato.
Ponantur quæ in superiore Lemmate, & producatur SQ ad V, ut sit SV æqualis SP. Temporibus æqualibus describat corpus arcus quam minimos PQ & QR, sintque areæ PSQ, QSr æquales. Et quoniam vis centripeta, qua corpus urgetur in P est reciproce ut SPq. & (per Lem. X. Lib. I.) lineola TQ, quæ vi illa generatur, est in ratione composita ex ratione hujus vis & ratione duplicata temporis quo arcus PQ describitur, (Nam resistentiam in hoc casu, ut infinite minorem quam vis centripeta negligo) erit TQ × SPq. id est (per Lemma novissimum) PQq. × SP, in ratione duplicata temporis, adeoque tempus est ut PQ × √SP, & corporis velocitas qua arcus PQ illo tempore describitur ut PQ ÷ {PQ × √SP} seu 1 ÷ √SP, hoc est in dimidiata ratione ipsius SP reciproce. Et simili argumento velocitas, qua arcus QR describitur, est in dimidiata ratione ipsius SQ reciproce. Sunt autem arcus illi PQ & QR ut velocitates descriptrices ad invicem, id est in dimidiata ratione SQ ad SP, sive ut SQ ad √SP × √SQ; & ob æquales angulos SPQ, SQr & æquales areas PSQ, QSr, est arcus PQ ad arcum Qr ut SQ ad SP. Sumantur proportionalium consequentium differentiæ, & fiet arcus PQ ad arcum Rr ut SQ ad SP - SP½ × SQ½, seu ½VQ; nam punctis P & Q coeuntibus, ratio ultima SP - SP½ × SQ½ ad ½VQ fit æqualitatis. In Medio non resistente areæ æquales PSQ, QSr (Theor. I. Lib. I.) temporibus æqualibus describi deberent. Ex resistentia oritur arearum differentia RSr, & propterea resistentia est ut lineolæ Qr decrementum Rr collatum cum quadrato temporis quo generatur. Nam lineola Rr (per Lem. X. Lib. I.) est in duplicata ratione temporis. Est igitur resistentia ut Rr ÷ {PQq. × SP}. Erat autem PQ ad Rr ut SQ ad ½VQ, & inde Rr ÷ {PQq. × SP} fit ut ½VQ ÷ {PQ × SP × SQ} sive ut ½OS ÷ {OP × SPq.}. Namque punctis P & Q coeuntibus, SP & SQ coincidunt; & ob similia triangula PVQ, PSO, fit PQ ad ½VQ ut OP ad ½OS. Est igitur OS ÷ {OP × SPq.} ut resistentia, id est in ratione densitatis Medii in P & ratione duplicata velocitatis conjunctim. Auferatur duplicata ratio velocitatis, nempe ratio 1 ÷ SP, & manebit Medii densitas in P ut OS ÷ {OP × SP}. Detur Spiralis, & ob datam rationem OS ad OP, densitas Medii in P erit ut 1 ÷ SP. In Medio igitur cujus densitas est reciproce ut distantia a centro SP, corpus gyrari potest in hac Spirali. Q. E. D.
Corol. 1. Velocitas in loco quovis P ea semper est quacum corpus in Medio non resistente gyrari potest in circulo, ad eandem a centro distantiam SP.
Corol. 2. Medii densitas, si datur distantia SP, est ut OS ÷ OP, sin distantia illa non datur, ut OS ÷ {OP × SP}. Et inde Spiralis ad quamlibet Medii densitatem aptari potest.
Corol. 3. Vis resistentiæ in loco quovis P, est ad vim centripetam in eodem loco ut ½OS ad OP. Nam vires illæ sunt ut lineæ Rr & TQ seu ut ½VQ × PQ ÷ SQ & PQq. ÷ SP quas simul generant, hoc est, ut ½VQ & PQ, seu ½OS & OP. Data igitur Spirali datur proportio resistentiæ ad vim centripetam, & viceversa ex data illa proportione datur Spiralis.
Corol. 4. Corpus itaque gyrari nequit in hac spirali, nisi ubi vis resistentiæ minor est quam dimidium vis centripetæ. Fiat resistentia æqualis dimidio vis centripetæ & Spiralis conveniet cum linea recta PS, inque hac recta corpus descendet ad centrum, dimidia semper cum velocitate qua probavimus in superioribus in casu Parabolæ (Theor. X. Lib. I.) descensum in Medio non resistente fieri. Unde tempora descensus hic erunt dupla majora temporibus illis atque adeo dantur.
Corol. 5. Et quoniam in æqualibus a centro distantiis velocitas eadem est in Spirali PQR atque in recta SP, & longitudo Spiralis ad longitudinem rectæ PS est in data ratione, nempe in ratione OP ad OS; tempus descensus in Spirali erit ad tempus descensus in recta SP in eadem illa data ratione, proindeque datur.
Corol. 6. Si centro S intervallis duobus describantur duo circuli; numerus revolutionum quas corpus intra circulorum circumferentias complere potest, est ut PS ÷ OS, sive ut Tangens anguli quem Spiralis continet cum radio PS; tempus vero revolutionum earundem ut OP ÷ OS, id est reciproce ut Medii densitas.
Corol. 7. Si corpus, in Medio cujus densitas est reciproce ut distantia locorum a centro, revolutionem in Curva quacunque AEB circa centrum illud fecerit, & Radium primum AS in eodem angulo secuerit in B quo prius in A, idque cum velocitate quæ fuerit ad velocitatem suam primam in A reciproce in dimidiata ratione distantiarum a centro (id est ut BS ad mediam proportionalem inter AS & CS:) corpus illud perget innumeras consimiles revolutiones BFC, CGD, &c. facere, & intersectionibus distinguet Radium AS in partes AS, BS, CS, DS &c. continue proportionales. Revolutionum vero tempora erunt ut Perimetri orbitarum AEB, BFC, CGD &c. directe, & velocitates in principiis A, B, C, inverse; id est ut AS½, BS½, CS½. Atq; tempus totum, quo corpus perveniet ad centrum, erit ad tempus revolutionis primæ, ut summa omnium continue proportionalium AS½, BS½, CS½ pergentium in infinitum, ad terminum primum AS½; id est ut terminus ille primus AS½ ad differentiam duorum primorum AS½ - BS½, & quam proxime ut ⅔AS ad AB. Unde tempus illud totum expedite invenitur.
Corol. 8. Ex his etiam præterpropter colligere licet motus corporum in Mediis, quorum densitas aut uniformis est, aut aliam quamcunque legem assignatam observat. Centro S intervallis continue proportionalibus SA, SB, SC &c. describe circulos quotcunque, & statue numerum revolutionum inter perimetros duorum quorumvis ex his circulis, in Medio de quo egimus, esse ad numerum revolutionum inter eosdem in Medio proposito, ut Medii propositi densitas mediocris inter hos circulos ad Medii, de quo egimus, densitatem mediocrem inter eosdem quam proxime; Sed & in eadem quoq; ratione esse Tangentem anguli quo Spiralis præfinita, in Medio de quo egimus, secat radium AS, ad tangentem anguli quo Spiralis nova secat radium eundem in Medio proposito: Atq; etiam ut sunt eorundem angulorum secantes ita esse tempora revolutionum omnium inter circulos eosdem duos quam proxime. Si hæc fiant passim inter circulos binos, continuabitur motus per circulos omnes. Atque hoc pacto haud difficulter imaginari possimus quibus modis ac temporibus corpora in Medio quocunque regulari gyrari debebunt.
Corol. 9. Et quamvis motus excentrici in Spiralibus ad formam Ovalium accedentibus peragantur; tamen concipiendo Spiralium illarum singulas revolutiones eisdem ab invicem intervallis distare, iisdemque gradibus ad centrum accedere cum Spirali superius descripta, intelligemus etiam quomodo motus corporum in hujusmodi Spiralibus peragantur.
Prop. XVI. Theor. XII.
Si Medii densitas in locis singulis sit reciproce ut dignitas aliqua distantiæ locorum a centro, sitque vis centripeta reciproce ut distantia in dignitatem illam ducta: dico quod corpus gyrari potest in Spirali, quæ radios omnes a centro illo ductos intersecat in angulo dato.
Demonstratur eadem methodo cum Propositione superiore. Nam si vis centripeta in P sit reciproce ut distantiæ SP dignitas quælibet SPn + 1 cujus index est n + 1; colligetur ut supra, quod tempus quo corpus describit arcum quemvis PQ erit ut PQ × SP½n & resistentia in P ut Rr ÷ {PQq. × SPn} sive ut ½nVQ ÷ {PQ × SPn × SQ}, adeoque ut ½OS ÷ {OP × SPn + 1}. Et propterea densitas in P est reciproce ut SPn.
Scholium.
Cæterum hæc Propositio & superiores, quæ ad Media inæqualiter densa spectant, intelligendæ sunt de motu corporum adeo parvorum, ut Medii ex uno corporis latere major densitas quam ex altero non consideranda veniat. Resistentiam quoque cæteris paribus densitati proportionalem esse suppono. Unde in Mediis quorum vis resistendi non est ut densitas, debet densitas eo usque augeri vel diminui, ut resistentiæ vel tollatur excessus vel defectus suppleatur.
Prop. XVII. Prob. V.
Invenire & vim centripetam & Medii resistentiam qua corpus in data Spirali data lege revolvi potest. Vide Fig. Prop. XV.
Sit spiralis illa PQR. Ex velocitate qua corpus percurrit arcum quam minimum PQ dabitur tempus, & ex altitudine TQ, quæ est ut vis centripeta & quadratum temporis dabitur vis. Deinde ex arearum, æqualibus temporum particulis confectarum PSQ & QSR, differentia RSr, dabitur corporis retardatio, & ex retardatione invenietur resistentia ac densitas Medii.
Prop. XVIII. Prob. VI.
Data lege vis centripetæ, invenire Medii densitatem in locis singulis, qua corpus datam Spiralem describet.
Ex vi centripeta invenienda est velocitas in locis singulis, deinde ex velocitatis retardatione quærenda Medii densitas: ut in Propositione superiore.
Methodum vero tractandi hæc Problemata aperui in hujus Propositione decima, & Lemmate secundo; & Lectorem in hujusmodi perplexis disquisitionibus diutius detenere nolo. Addenda jam sunt aliqua de viribus corporum ad progrediendum, deque densitate & resistentia Mediorum, in quibus motus hactenus expositi & his affines peraguntur.
SECT. V.
De Densitate & compressione Fluidorum, deque Hydrostatica.
Definitio Fluidi.
Fluidum est corpus omne cujus partes cedunt vi cuicunque illatæ, & cedendo facile movetur inter se.
Prop. XIX. Theor. XIII.
Fluidi homogenei & immoti, quod in vase quocunque immoto clauditur & undique comprimitur, partes omnes (seposita Condensationis, gravitatis & virium omnium centripetarum consideratione) æqualiter premuntur undique, & absque omni motu a pressione illa orto permanent in locis suis.
Cas. 1. In vase sphærico ABC claudatur & uniformiter comprimatur fluidum undique: dico quod ejusdem pars nulla ex illa pressione movebitur. Nam si pars aliqua D moveatur, necesse est ut omnes ejusmodi partes, ad eandem a centro distantiam undique consistentes, simili motu simul moveantur; atq; hoc adeo quia similis & æqualis est omnium pressio, & motus omnis exclusus supponitur, nisi qui a pressione illa oriatur. Atqui non possunt omnes ad centrum propius accedere, nisi fluidum ad centrum condensetur; contra Hypothesin. Non possunt longius ab eo recedere nisi fluidum ad circumferentiam condensetur; etiam contra Hypothesin. Non possunt servata sua a centro distantia moveri in plagam quamcunq; quia pari ratione movebuntur in plagam contrariam; in plagas autem contrarias non potest pars eadem eodem tempore moveri. Ergo fluidi pars nulla de loco suo movebitur. Q. E. D.
Cas. 2. Dico jam quod fluidi hujus partes omnes sphæricæ æqualiter premuntur undique: sit enim EF pars sphærica fluidi, & si hæc undiq; non premitur æqualiter, augeatur pressio minor, usq; dum ipsa undiq; prematur æqualiter; & partes ejus, per casum primum, permanebunt in locis suis. Sed ante auctam pressionem permanebunt in locis suis, per casum eundum primum, & additione pressionis novæ movebuntur de locis suis, per definitionem Fluidi. Quæ duo repugnant. Ergo falso dicebatur quod Sphæra EF non undique premebatur æqualiter. Q. E. D.
Cas. 3. Dico præterea quod diversarum partium sphæricarum æqualis sit pressio. Nam partes sphæricæ contiguæ se mutuo premunt æqualiter in puncto contactus, per motus Legem III. Sed & per Casum secundum, undiq; premuntur eadem vi. Partes igitur duæ quævis sphæricæ non contiguæ, quia pars sphærica intermedia tangere potest utramque, prementur eadem vi. Q. E. D.
Cas. 4. Dico jam quod fluidi partes omnes ubiq; premuntur æqualiter. Nam partes duæ quævis tangi possunt a partibus Sphæricis in punctis quibuscunque, & ibi partes illas Sphæricas æqualiter premunt, per Casum 3. & vicissim ab illis æqualiter premuntur, per Motus Legem Tertiam. Q. E. D.
Cas. 5. Cum igitur fluidi pars quælibet GHI in fluido reliquo tanquam in vase claudatur, & undique prematur æqualiter, partes autem ejus se mutuo æqualiter premant & quiescant inter se; manifestum est quod Fluidi cujuscunque GHI, quod undique premitur æqualiter, partes omnes se mutuo premunt æqualiter, & quiescunt inter se. Q. E. D.
Cas. 6. Igitur si Fluidum illud in vase non rigido claudatur, & undique non prematur æqualiter, cedet idem pressioni fortiori, per Definitionem Fluiditatis.
Cas. 7. Ideoque in vase rigido Fluidum non sustinebit pressionem fortiorem ex uno latere quam ex alio, sed eidem cedet, idq; in momento temporis, quia latus vasis rigidum non persequitur liquorem cedentem. Cedendo autem urgebit latus oppositum, & sic pressio undique ad æqualitatem verget. Et quoniam Fluidum, quam primum a parte magis pressa recedere conatur, inhibetur per resistentiam vasis ad latus oppositum; reducetur pressio undique ad æqualitatem in momento temporis absque motu locali; & subinde, partes fluidi, per Casum quintum, se mutuo prement æqualiter, & quiescent inter se. Q. E. D.
Corol. Unde nec motus partium fluidi inter se, per pressionem fluido ubivis in externa superficie illatam, mutari possunt nisi, quatenus aut figura superficiei alicubi mutatur, aut omnes fluidi partes intensius vel remissius sese premendo difficilius vel facilius labuntur inter se.
Prop. XX. Theor. XIV.
Si Fluidi Sphærici, & in æqualibus a centro distantiis homogenei, fundo sphærico concentrico incumbentis partes singulæ versus centrum totius gravitent; sustinet fundum pondus Cylindri, cujus basis æqualis est superficiei fundi, & altitudo eadem quæ Fluidi incumbentis.
Sit DHM superficies fundi, & AEI superficies superior fluidi. Superficiebus sphæricis innumeris BFK, CGL distinguatur fluidum in Orbes concentricos æqualiter crassos; & concipe vim gravitatis agere solummodo in superficiem superiorem Orbis cujusque, & æquales esse actiones in æquales partes superficierum omnium. Premitur ergo superficies suprema AE vi simplici gravitatis propriæ, qua & omnes Orbis supremi partes & superficies secunda BFK (per Prop. XIX.) premuntur. Premitur præterea superficies secunda BFK vi propriæ gravitatis, quæ addita vi priori facit pressionem duplam. Hac pressione & insuper vi propriæ gravitatis, id est pressione tripla, urgetur superficies tertia CGL. Et similiter pressione quadrupla urgetur superficies quarta, quintupla quinta & sic deinceps. Pressio igitur qua superficies unaquæque urgetur, non est ut quantitas solida fluidi incumbentis, sed ut numerus Orbium ad usque summitatem fluidi; & æquatur gravitati Orbis infimi multiplicatæ per numerum Orbium: hoc est gravitati solidi cujus ultima ratio ad Cylindrum præfinitum, (si modo Orbium augeatur numerus & minuatur crassitudo in infinitum, sic ut actio gravitatis a superficie infima ad supremam continua reddatur) fiet ratio æqualitatis. Sustinet ergo superficies infima pondus cylindri præfiniti. Q. E. D. Et simili argumentatione patet Propositio, ubi gravitas decrescit in ratione quavis assignata distantiæ a centro, ut & ubi Fluidum sursum rarius est, deorsum densius. Q. E. D.
Corol. 1. Igitur fundum non urgetur a toto fluidi incumbentis pondere, sed eam solummodo ponderis partem sustinet quæ in Propositione describitur; pondere reliquo a fluidi figura fornicata sustentato.
Corol. 2. In æqualibus autem a centro distantiis eadem semper est pressionis quantitas, sive superficies pressa sit Horizonti parallela vel perpendicularis vel obliqua; sive fluidum a superficie pressa sursum continuatum surgat perpendiculariter secundum lineam rectam, vel serpit oblique per tortas cavitates & canales, easque regulares vel maxime irregulares, amplas vel angustissimas. Hisce circumstantiis pressionem nil mutari colligitur, applicando demonstrationem Theorematis hujus ad Casus singulos Fluidorum.
Corol. 3. Eadem Demonstratione colligitur etiam (per Prop. XIX.) quod fluidi gravis partes nullum, ex pressione ponderis incumbentis, acquirunt motum inter se, si modo excludatur motus qui ex condensatione oriatur.
Corol. 4. Et propterea si aliud ejusdem gravitatis specificæ corpus, quod sit condensationis expers, submergatur in hoc fluido, id ex pressione ponderis incumbentis nullum acquiret motum: non descendet, non ascendet, non cogetur figuram suam mutare. Si Sphæricum est manebit sphæricum, non obstante pressione; si quadratum est manebit quadratum: idq; sive molle sit, sive fluidissimum; sive fluido libere innatet, sive fundo incumbat. Habet enim fluidi pars quælibet interna rationem corporis submersi, & par est ratio omnium ejusdem magnitudinis, figuræ & gravitatis specificæ submersorum corporum. Si corpus submersum servato pondere liquesceret & indueret formam fluidi; hoc, si prius ascenderet vel descenderet vel ex pressione figuram novam indueret, etiam nunc ascenderet vel descenderet vel figuram novam induere cogeretur: id adeo quia gravitas ejus cæteræque motuum causæ permanent. Atqui, per Cas. 5. Prop. XIX. jam quiesceret & figuram retineret. Ergo & prius.
Corol. 5. Proinde corpus quod specifice gravius est quam Fluidum sibi contiguum subsidebit, & quod specifice levius est ascendet, motumque & figuræ mutationem consequetur, quantum excessus ille vel defectus gravitatis efficere possit. Namque excessus ille vel defectus rationem habet impulsus, quo corpus, alias in æquilibrio cum fluidi partibus constitutum, urgetur; & comparari potest cum excessu vel defectu ponderis in lance alterutra libræ.
Corol. 6. Corporum igitur in fluidis constitutorum duplex est Gravitas: altera vera & absoluta, altera apparens, vulgaris & comparativa. Gravitas absoluta est vis tota qua corpus deorsum tendit: relativa & vulgaris est excessus gravitatis quo corpus magis tendit deorsum quam fluidum ambiens. Prioris generis Gravitate partes fluidorum & corporum omnium gravitant in locis suis: ideoque conjunctis ponderibus componunt pondus totius. Nam totum omne grave est, ut in vasis liquorum plenis experiri licet; & pondus totius æquale est ponderibus omnium partium, ideoque ex iisdem componitur. Alterius generis gravitate corpora non gravitant in locis suis, id est inter se collata non prægravant, sed mutuos ad descendendum conatus impedientia permanent in locis suis, perinde ac si gravia non essent. Quæ in Aere sunt & non prægravant, Vulgus gravia non judicat. Quæ prægravant vulgus gravia judicat, quatenus ab Aeris pondere non sustinentur. Pondera vulgi nihil aliud sunt quam excessus verorum ponderum supra pondus Aeris. Unde & vulgo dicuntur levia, quæ sunt minus gravia, Aerique prægravanti cedendo superiora petunt. Comparative levia sunt non vere, quia descendunt in vacuo. Sic & in Aqua, corpora, quæ ob majorem vel minorem gravitatem descendunt vel ascendunt, sunt comparative & apparenter gravia vel levia, & eorum gravitas vel levitas comparativa & apparens est excessus vel defectus quo vera eorum gravitas vel superat gravitatem aquæ vel ab ea superatur. Quæ vero nec prægravando descendunt, nec prægravanti cedendo ascendunt, etiamsi veris suis ponderibus adaugeant pondus totius, comparative tamen & in sensu vulgi non gravitant in aqua. Nam similis est horum Casuum Demonstratio.
Corol. 7. Quæ de gravitate demonstrantur, obtinent in aliis quibuscunque viribus centripetis.
Corol. 8. Proinde si Medium, in quo corpus aliquod movetur, urgeatur vel a gravitate propria, vel ab alia quacunq; vi centripeta, & corpus ab eadem vi urgeatur fortius: differentia virium est vis illa motrix, quam in præcedentibus Propositionibus ut vim centripetam consideravimus. Sin corpus a vi illa urgeatur levius, differentia virium pro vi centrifuga haberi debet.
Corol. 9. Cum autem fluida premendo corpora inclusa non mutent eorum Figuras externas, patet insuper, per Corollaria Prop. XIX. quod non mutabunt situm partium internarum inter se: proindeque, si Animalia immergantur, & sensatio omnis a motu partium oriatur; nec lædent corporibus immersis, nec sensationem ullam excitabunt, nisi quatenus hæc corpora a compressione ne condensari possunt. Et par est ratio cujuscunque corporum Systematis fluido comprimente circundati. Systematis partes omnes iisdem agitabuntur motibus, ac si in vacuo constituerentur, ac solam retinerent gravitatem suam comparativam, nisi quatenus fluidum vel motibus earum nonnihil resistat, vel ad easdem compressione conglutinandas requiratur.
Prop. XXI. Theor. XV.
Sit Fluidi cujusdam densitas compressioni proportionalis, & partes ejus a vi centripeta distantiis suis a centro reciproce proportionali deorsum trahantur: dico quod si distantiæ illæ sumantur continue proportionales, densitates fluidi in iisdem distantiis erunt etiam continue proportionales.
Designet ATV fundum Sphæricum cui fluidum incumbit, S centrum, SA, SB, SC, SD, SE, &c. distantias continue proportionales. Erigantur perpendicula AH, BI, CK, DL, EM, &c. quæ sint ut densitates Medii in locis A, B, C, D, E; & specificæ gravitates in iisdem locis erunt ut AH ÷ AS, BI ÷ BS, CK ÷ CS, &c. vel, quod perinde est, ut AH ÷ AB, BI ÷ BC, CK ÷ CD &c. Finge primum has gravitates uniformiter continuari ab A ad B, a B ad C, a C ad D &c. factis per gradus decrementis in punctis B, C, D &c. Et hæ gravitates ductæ in altitudines AB, BC, CD &c. conficient pressiones AH, BI, CK, quibus fundum ATV (juxta Theorema XIV.) urgetur. Sustinet ergo particula A pressiones omnes AH, BI, CK, DL, pergendo in infinitum; & particula B pressiones omnes præter primam AH; & particula C omnes præter duas primas AH, BI; & sic deinceps: adeoque particulæ primæ A densitas AH est ad particulæ secundæ B densitatem BI ut summa omnium AH + BI + CK + DL, in infinitum, ad summam omnium BI + CK + DL, &c. Et BI densitas secundæ B, est ad CK densitatem tertiæ C, ut summa omnium BI + CK + DL, &c. ad summam omnium CK + DL, &c. Sunt igitur summæ illæ differentiis suis AH, BI, CK, &c. proportionales, atque adeo continue proportionales per hujus Lem. I. proindeq; differentiæ AH, BI, CK, &c. summis proportionales, sunt etiam continue proportionales. Quare cum densitates in locis A, B, C sint ut AH, BI, CK, &c. erunt etiam hæ continue proportionales. Pergatur per saltum, & (ex æquo) in distantiis SA, SC, SE continue proportionalibus, erunt densitates AH, CK, EM continue proportionales. Et eodem argumento in distantiis quibusvis continue proportionalibus SA, SD, SQ densitates AH, DL, QT erunt continue proportionales. Coeant jam puncta A, B, C, D, E, &c. eo ut progressio gravitatum specificarum a fundo A ad summitatem Fluidi continua reddatur, & in distantiis quibusvis continue proportionalibus SA, SD, SQ, densitates AH, DL, QT, semper existentes continue proportionales, manebunt etiamnum continue proportionales. Q. E. D.
Corol. Hinc si detur densitas Fluidi in duobus locis, puta A & E, colligi potest ejus densitas in alio quovis loco Q. Centro S, Asymptotis rectangulis SQ, SX describatur Hyperbola secans perpendicula AH, EM, QT in a, e, q, ut & perpendicula HX, MY, TZ ad asymptoton SX demissa in h, m, & t. Fiat area ZYmtZ ad aream datam YmhX ut area data EeqQ ad aream datam EeaA; & linea Zt producta abscindet lineam QT densitati proportionalem. Namque si lineæ SA, SE, SQ sunt continue proportionales, erunt areæ EeqQ, EeaA æquales, & inde areæ his proportionales YmtZ, XhmY etiam æquales & lineæ SX, SY, SZ id est AH, EM, QT continue proportionales, ut oportet. Et si lineæ SA, SE, SQ obtinent alium quemvis ordinem in serie continue proportionalium, lineæ AH, EM, QT, ob proportionales areas Hyperbolicas, obtinebunt eundem ordinem in alia serie quantitatum continue proportionalium.
Prop. XXII. Theor. XVI.
Sit Fluidi cujusdam densitas compressioni proportionalis, & partes ejus a gravitate quadratis distantiarum suarum a centro reciproce proportionali deorsum trahantur: dico quod si distantiæ sumantur in progressione Musica, densitates Fluidi in his distantiis erunt in progressione Geometrica.
Designet S centrum, & SA, SB, SC, SD, SE distantias in Progressione Geometrica. Erigantur perpendicula AH, BI, CK, &c. quæ sint ut Fluidi densitates in locis A, B, C, D, E, &c. & ipsius gravitates specificæ in iisdem locis erunt AH ÷ SAq., BI ÷ SBq., CK ÷ SCq., &c. Finge has gravitates uniformiter continuari, primam ab A ad B, secundam a B ad C, tertiam a C ad D, &c. Et hæ ductæ in altitudines AB, BC, CD, DE, &c. vel, quod perinde est, in distantias SA, SB, SC, &c. altitudinibus illis proportionales, conficient exponentes pressionum AH ÷ SA, BI ÷ SB, CK ÷ SC, &c. Quare cum densitates sint ut harum pressionum summæ, differentiæ densitatum AH - BI, BI - CK, &c. erunt ut summarum differentiæ AH ÷ SA, BI ÷ SB, CK ÷ SC, &c. Centro S Asymptotis SA, SX describatur Hyperbola quævis, quæ secet perpendicula AH, BI, CK, &c. in a, b, c; ut & perpendicula ad Asymptoton SX demissa Ht, Iu, Kw in h, i, k; & densitatum differentiæ tu, uw, &c. erunt ut AH ÷ SA, BI ÷ SB, &c. Et rectangula tu × th, uw × ui, &c. seu tp, uq, &c. ut AH × th ÷ SA ut BI × ui ÷ SB, &c. id est ut Aa, Bb &c. Est enim ex natura Hyperbolæ SA ad AH vel St, ut th ad Aa, adeoque AH × th ÷ SA æquale Aa. Et simili argumento est BI × ui ÷ SB æqualis Bb, &c. Sunt autem Aa, Bb, Cc, &c. continue proportionales, & propterea differentiis suis Aa - Bb, Bb - Cc, &c. proportionales; ideoque differentiis hisce proportionalia sunt rectangula tp, uq, &c. ut & summis differentiarum Aa - Cc vel Aa - Dd summæ rectangulorum tp + uq, vel tp + uq + wr. Sunto ejusmodi termini quam plurimi, & summa omnium differentiarum, puta Aa - Ff, erit summæ omnium rectangulorum, puta zthn, proportionalis. Augeatur numerus terminorum & minuantur distantiæ punctorum A, B, C, &c. in infinitum, & rectangula illa evadent æqualia areæ Hyperbolicæ zthn, adeoque huic areæ proportionalis est differentia Aa - Ff. Sumantur jam distantiæ quælibet, puta SA, SD, SF in Progressione Musica, & differentiæ Aa - Dd, Dd - Ff erunt æquales; & propterea differentiis hisce proportionales areæ thlx, xlnz æquales erunt inter se, & densitates St, Sx, Sz, id est AH, DL, FN, continue proportionales. Q. E. D.
Corol. Hinc si dentur Fluidi densitates duæ quævis, puta AH & CK, dabitur area thkw harum differentiæ tw respondens; & inde invenietur densitas FN in altitudine quacunque SF, sumendo aream thnz ad aream illam datam thkw ut est differentia Aa - Ff ad differentiam Aa - Cc.
Scholium.
Simili argumentatione probari potest, quod si gravitas particularum Fluidi diminuatur in triplicata ratione distantiarum a centro; & quadratorum distantiarum SA, SB, SC, &c. reciproca (nempe SA cub. ÷ SAq., SA cub. ÷ SBq., SA cub. ÷ SCq.) sumantur in progressione Arithmetica; densitates AH, BI, CK, &c. erunt in progressione Geometrica. Et si gravitas diminuatur in quadruplicata ratione distantiarum, & cuborum distantiarum reciproca (puta SA qq. ÷ SA cub., SA qq. ÷ SB cub., SA qq. ÷ SC cub.) sumantur in progressione Arithmetica; densitates AH, BI, CK, &c. erunt in progressione Geometrica. Et sic in infinitum. Rursus si gravitas particularum Fluidi in omnibus distantiis eadem sit, & distantiæ sint in progressione Arithmetica, densitates erunt in progressione Geometrica, uti Vir Cl.\ Edmundus Halleius invenit. Si gravitas sit ut distantia, & quadrata distantiarum sint in progressione Arithmetica, densitates erunt in progressione Geometrica. Et sic in infinitum. Hæc ita se habent ubi Fluidi compressione condensati densitas est ut vis compressionis, vel, quod perinde est, spatium a Fluido occupatum reciproce ut hæc vis. Fingi possunt aliæ condensationis leges, ut quod cubus vis comprimentis sit ut quadrato-quadratum densitatis, seu triplicata ratio Vis æqualis quadruplicatæ rationi densitatis. Quo in casu, si gravitas est reciproce ut quadratum distantiæ a centro, densitas erit reciproce ut cubus distantiæ. Fingatur quod cubus vis comprimentis sit ut quadrato-cubus densitatis, & si gravitas est reciproce ut quadratum distantiæ, densitas erit reciproce in sesquiplicata ratione distantiæ. Fingatur quod vis comprimens sit in duplicata ratione densitatis, & gravitas reciproce in ratione duplicata distantiæ, & densitas erit reciproce ut distantia. Casus omnes percurrere longum esset.
Prop. XXIII. Theor. XVII.
Particulæ viribus quæ sunt reciproce proportionales distantiis centrorum suorum se mutuo fugientes componunt Fluidum Elasticum, cujus densitas est compressioni proportionalis. Et vice versa, si Fluidi ex particulis se mutuo fugientibus compositi densitas sit ut compressio, vires centrifugæ particularum sunt reciproce proportionales distantiis centrorum.
Includi intelligatur Fluidum in spatio cubico ACE, dein compressione redigi in spatium cubicum minus ace; & particularum similem situm inter se in utroque spatio obtinentium distantiæ erunt ut cuborum latera AB, ab; & Medii densitates reciproce ut spatia continentia AB cub. & ab cub. In latere cubi majoris ABCD capiatur quadratum DP æquale lateri cubi minoris db; & ex Hypothesi, pressio qua quadratum DP urget Fluidum inclusum, erit ad pressionem qua latus illud quadratum db urget Fluidum inclusum, ut Medii densitates ad invicem, hoc est ab cub. ad AB cub. Sed pressio qua quadratum DB urget Fluidum inclusum, est ad pressionem qua quadratum DP urget idem Fluidum, ut quadratum DB ad quadratum DP, hoc est ut AB quad. ad ab quad. Ergo ex æquo pressio qua latus DB urget Fluidum, est ad pressionem qua latus db urget Fluidum, ut ab ad AB. Planis FGH, fgh per media cuborum ductis distinguatur Fluidum in duas partes, & hæ se mutuo prement iisdem viribus, quibus premuntur a planis AC, ac, hoc est in proportione ab ad AB: adeoque vires centrifugæ, quibus hæ pressiones sustinentur, sunt in eadem ratione. Ob eundem particularum numerum similemq; situm in utroque cubo, vires quas particulæ omnes secundum plana FGH, fgh exercent in omnes, sunt ut vires quas singulæ exercent in singulas. Ergo vires, quas singulæ exercent in singulas secundum planum FGH in cubo majore, sunt ad vires quas singulæ exercent in singulas secundum planum fgh in cubo minore ut ab ad AB, hoc est reciproce ut distantiæ particularum ad invicem. Q. E. D.
Et vice versa, si vires particularum singularum sunt reciproce ut distantiæ, id est reciproce ut cuborum latera AB, ab; summæ virium erunt in eadem ratione, & pressiones laterum DB, db ut summæ virium; & pressio quadrati DP ad pressionem lateris DB ut ab quad. ad AB quad. Et ex æquo pressio quadrati DP ad pressionem lateris db ut ab cub. ad AB cub. id est vis compressionis ad vim compressionis ut densitas ad densitatem. Q. E. D.
Scholium.
Simili argumento si particularum vires centrifugæ sint reciproce in duplicata ratione distantiarum inter centra, cubi virium comprimentium erunt ut quadrato-quadrata densitatum. Si vires centrifugæ sint reciproce in triplicata vel quadruplicata ratione distantiarum, cubi virium comprimentium erunt ut quadrato-cubi vel cubo-cubi densitatum. Et universaliter, si D ponatur pro distantia, & E pro densitate Fluidi compressi, & vires centrifugæ sint reciproce ut distantiæ dignitas quælibet Dn, cujus index est numerus n; vires comprimentes erunt ut latera cubica Dignitatis En + 2, cujus index est numerus n + 2; & contra. Intelligenda vero sunt hæc omnia de particularum Viribus centrifugis quæ terminantur in particulis proximis, aut non longe ultra diffunduntur. Exemplum habemus in corporibus Magneticis. Horum Virtus attractiva terminatur fere in sui generis corporibus sibi proximis. Magnetis virtus per interpositam laminam ferri contrahitur, & in lamina fere terminatur. Nam corpora ulteriora non tam a Magnete quam a lamina trahuntur. Ad eundem modum si particulæ fugant alias sui generis particulas sibi proximas, in particulas autem remotiores virtutem nullam nisi forte per particulas intermedias virtute illa auctas exerceant, ex hujusmodi particulis componentur Fluida de quibus actum est in hac propositione. Quod si particulæ cujusq; virtus in infinitum propagetur, opus erit vi majori ad æqualem condensationem majoris quantitatis Fluidi. Ut si particula unaquæq; vi sua, quæ sit reciproce ut distantia locorum a centro suo, fugat alias omnes particulas in infinitum; Vires quibus Fluidum in vasis similibus æqualiter comprimi & condensari possit, erunt ut quadrata diametrorum vasorum: ideoque vis, qua Fluidum in eodem vase comprimitur, erit reciproce ut latus cubicum quadrato-cubi densitatis. An vero Fluida Elastica ex particulis se mutuo fugantibus constent, Quæstio Physica est. Nos proprietatem Fluidorum ex ejusmodi particulis constantium Mathematice demonstravimus, ut Philosophis ansam præbeamus Quæstionem illam tractandi.
SECT. VI.
De Motu & resistentia Corporum Funependulorum.
Prop. XXIV. Theor. XVIII.
Quantitates materiæ in corporibus funependulis, quorum centra oscillationum a centro suspensionis æqualiter distant, sunt in ratione composita ex ratione ponderum & ratione duplicata temporum oscillationum in vacuo.
Nam velocitas, quam data vis in data materia dato tempore generare potest, est ut vis & tempus directe, & materia inverse. Quo major est vis vel majus tempus vel minor materia, eo major generabitur velocitas. Id quod per motus Legem secundam manifestum est. Jam vero si pendula ejusdem sint longitudinis, vires motrices in locis a perpendiculo æqualiter distantibus sunt ut pondera: ideoque si corpora duo oscillando describant arcus æquales, & arcus illi dividantur in partes æquales; cum tempora quibus corpora describant singulas arcuum partes correspondentes sint ut tempora oscillationum totarum, erunt velocitates ad invicem in correspondentibus oscillationum partibus, ut vires motrices & tota oscillationum tempora directe & quantitates materiæ reciproce: adeoque quantitates materiæ ut vires & oscillationum tempora directe & velocitates reciproce. Sed velocitates reciproce sunt ut tempora, atque adeo tempora directe & velocitates reciproce sunt ut quadrata temporum, & propterea quantitates materiæ sunt ut vires motrices & quadrata temporum, id est ut pondera & quadrata temporum. Q. E. D.
Corol. 1. Ideoque si tempora sunt æqualia, quantitates materiæ in singulis corporibus erunt ut pondera.
Corol. 2. Si pondera sunt æqualia, quantitates materiæ erunt ut quadrata temporum.
Corol. 3. Si quantitates materiæ æquantur, pondera erunt reciproce ut quadrata temporum.
Corol. 4. Unde cum quadrata temporum cæteris paribus sint ut longitudines pendulorum; si & tempora & quantitates materiæ æqualia sunt, pondera erunt ut longitudines pendulorum.
Corol. 5. Et universaliter, quantitas materiæ pendulæ est ut pondus & quadratum temporis directe, & longitudo penduli inverse.
Corol. 6. Sed & in Medio non resistente quantitas Materiæ pendulæ est ut pondus comparativum & quadratum temporis directe & longitudo penduli inverse. Nam pondus comparativum est vis motrix corporis in Medio quovis gravi, ut supra explicui; adeoque idem præstat in tali Medio non resistente atque pondus absolutum in vacuo.
Corol. 7. Et hinc liquet ratio tum comparandi corpora inter se, quoad quantitatem materiæ in singulis, tum comparandi pondera ejusdem corporis in diversis locis, ad cognoscendam variationem gravitatis. Factis autem experimentis quam accuratissimis inveni semper quantitatem materiæ in corporibus singulis eorum ponderi proportionalem esse.
Prop. XXV. Theor. XIX.
Corpora Funependula quæ in Medio quovis resistuntur in ratione momentorum temporis, quæque in ejusdem gravitatis specificæ Medio non resistente moventur, oscillationes in Cycloide eodem tempore peragunt, & arcuum partes proportionales simul describunt.
Sit AB Cycloidis arcus, quem corpus D tempore quovis in Medio non resistente oscillando describit. Bisecetur idem in C, ita ut C sit infimum ejus punctum; & erit vis acceleratrix qua corpus urgetur in loco quovis D vel d vel E ut longitudo arcus CD vel Cd vel CE. Exponatur vis illa per eundem arcum; & cum resistentia sit ut momentum temporis, adeoque detur, exponatur eadem per datam arcus Cycloidis partem CO, & sumatur arcus Od in ratione ad arcum CD quam habet arcus OB ad arcum CB: & vis qua corpus in d urgetur in Medio resistente, cum sit excessus vis Cd supra resistentiam CO, exponetur per arcum Od, adeoque erit ad vim qua corpus D urgetur in Medio non resistente, in loco D, ut arcus Od ad arcum CD; & propterea etiam in loco B ut arcus OB ad arcum CB. Proinde si corpora duo, D, d exeant de loco B & his viribus urgeantur: cum vires sub initio sint ut arcus CB & OB, erunt velocitates primæ & arcus primo descripti in eadem ratione. Sunto arcus illi BD & Bd, & arcus reliqui CD, Od erunt in eadem ratione. Proinde vires ipsis CD, Od proportionales manebunt in eadem ratione ac sub initio, & propterea corpora pergent arcus in eadem ratione simul describere. Igitur vires & velocitates & arcus reliqui CD, Od semper erunt ut arcus toti CD, OB, & propterea arcus illi reliqui simul describentur. Quare corpora duo D, d simul pervenient ad loca C & O, alterum quidem in Medio non resistente ad locum C, & alterum in Medio resistente ad locum O. Cum autem velocitates in C & O sint ut arcus CB & OB; erunt arcus quos corpora ulterius pergendo simul describunt, in eadem ratione. Sunto illi CE & Oe. Vis qua corpus D in Medio non resistente retardatur in E est ut CE, & vis qua corpus d in Medio resistente retardatur in e est ut summa vis Ce & resistentiæ CO, id est ut Oe; ideoque vires, quibus corpora retardantur, sunt ut arcubus CE, Oe proportionales arcus CB, OB; proindeque velocitates in data illa ratione retardatæ manent in eadem illa data ratione. Velocitates igitur & arcus iisdem descripti semper sunt ad invicem in data illa ratione arcuum CB & OB; & propterea si sumantur arcus toti AB, aB in eadem ratione, corpora D, d simul describent hos arcus, & in locis A & a motum omnem simul amittent. Isochronæ sunt igitur oscillationes totæ, & arcubus totis BA, BE proportionales sunt arcuum partes quælibet BD, Bd vel BE, Be quæ simul describuntur. Q. E. D.
Corol. Igitur motus velocissimus in Medio resistente non incidit in punctum infimum C, sed reperitur in puncto illo O, quo arcus totus descriptus aB bisecatur. Et corpus subinde pergendo ad a, iisdem gradibus retardatur quibus antea accelerabatur in descensu suo a B ad O.
Prop. XXVI. Theor. XX.
Corporum Funependulorum, quæ resistuntur in ratione velocitatum, oscillationes in Cycloide sunt Isochronæ.
Nam si corpora duo a centris suspensionum æqualiter distantia, oscillando describant arcus inæquales, & velocitates in arcuum partibus correspondentibus sint ad invicem ut arcus toti; resistentiæ velocitatibus proportionales erunt etiam ad invicem ut iidem arcus. Proinde si viribus motricibus a gravitate oriundis, quæ sint ut iidem arcus auferantur, conferantur vel addantur hæ resistentiæ, erunt differentiæ vel summæ ad invicem in eadem arcuum ratione: cumque velocitatum incrementa vel decrementa sint ut hæ differentiæ vel summæ, velocitates semper erunt ut arcus toti: Igitur velocitates, si sint in aliquo casu ut arcus toti, manebunt semper in eadem ratione. Sed in principio motus, ubi corpora incipiunt descendere & arcus illos describere, vires, cum sint arcubus proportionales, generabunt velocitates arcubus proportionales. Ergo velocitates semper erunt ut arcus toti describendi, & propterea arcus illi simul describentur. Q. E. D.
Prop. XXVII. Theor. XXI.
Si corpora Funependula resistuntur in duplicata ratione velocitatum, differentiæ inter tempora oscillationum in Medio resistente ac tempora oscillationum in ejusdem gravitatis specificæ Medio non resistente, erunt arcubus oscillando descriptis proportionales, quam proxime.
Nam pendulis æqualibus in Medio resistente describantur arcus inæquales A, B; resistentia corporis in arcu A, erit ad resistentiam corporis in parte correspondente arcus B, in duplicata ratione velocitatum, id est ut A quad. ad B quad. quamproxime. Si resistentia in arcu B esset ad resistentiam in arcu A ut rectangulum AB ad A quad. tempora in arcubus A & B forent æqualia per Propositionem superiorem. Ideoque resistentia A quad. in arcu A, vel AB in arcu B, efficit excessum temporis in arcu A supra tempus in Medio non resistente; & resistentia BB efficit excessum temporis in arcu B supra tempus in Medio non resistente. Sunt autem excessus illi ut vires efficientes AB & BB quam proxime, id est ut arcus A & B. Q. E. D.
Corol. 1. Hinc ex oscillationum temporibus, in Medio resistente in arcubus inæqualibus factarum, cognosci possunt tempora oscillationum in ejusdem gravitatis specificæ Medio non resistente. Nam si verbi gratia arcus sit altero duplo major, differentia temporum erit ad excessum temporis in arcu minore supra tempus in Medio non resistente, ut differentia arcuum ad arcum minorem.
Corol. 2. Oscillationes breviores sunt magis Isochronæ, & brevissimæ iisdem temporibus peraguntur ac in Medio non resistente, quam proxime. Earum vero quæ in majoribus arcubus fiunt, tempora sunt paulo majora, propterea quod resistentia in descensu corporis qua tempus producitur, major sit pro ratione longitudinis in descensu descriptæ, quam resistentia in ascensu subsequente qua tempus contrahitur. Sed & tempus oscillationum tam brevium quam longarum nonnihil produci videtur per motum Medii. Nam corpora tardescentia paulo minus resistuntur pro ratione velocitatis, & corpora accelerata paulo magis quam quæ uniformiter progrediuntur: id adeo quia Medium, eo quem a corporibus accepit motu, in eandem plagam pergendo, in priore casu magis agitatur, in posteriore minus; ac proinde magis vel minus cum corporibus motis conspirat. Pendulis igitur in descensu magis resistit, in ascensu minus quam pro ratione velocitatis, & ex utraque causa tempus producitur.
Prop. XXVIII. Theor. XXII.
Designet BC arcum descensu descriptum, Ca arcum ascensu descriptum, & Aa differentiam arcuum: & stantibus quæ in Propositione XXV. constructa & demonstrata sunt, erit vis qua corpus oscillans urgetur in loco quovis D, ad uim resistentia ut arcus CD ad arcum CO, qui semissis est differentiæ illius Aa. Ideoque vis qua corpus oscillans urgetur in Cycloidis principio seu puncto altissimo, id est vis gravitatis, erit ad resistentiam ut arcus Cycloidis inter punctum illud supremum & punctum infimum C ad arcum CO; id est (si arcus duplicentur) ut Cycloidis totius arcus, seu dupla penduli longitudo, ad arcum Aa. Q. E. D.
Prop. XXIX. Prob. VII.
Posito quod corpus in Cycloide oscillans resistitur in duplicata ratione velocitatis: invenire resistentiam in locis singulis.
Sit Ba (Fig. Prop. XXV.) arcus oscillatione integra descriptus, sitque C infimum Cycloidis punctum, & CZ semissis arcus Cycloidis totius, longitudini Penduli æqualis; & quæratur resistentia corporis in loco quovis D. Secetur recta infinita OQ in punctis O, C, P, Q ea lege ut (si erigantur perpendicula OK, CT, PI, QE, centroque O & Asymptotis OK, OQ describatur Hyperbola TIGE secans perpendicula CT, PI, QE in T, I & E, & per punctum I agatur KF occurrens Asymptoto OK in K, & perpendiculis CT & QE in L & F) fuerit area Hyperbolica PIEQ ad aream Hyperbolicam PITC ut arcus BC descensu corporis descriptus ad arcum Ca ascensu descriptum, & area IEF ad aream ILT ut OQ ad OC. Dein perpendiculo MN abscindatur area Hyperbolica PINM quæ sit ad aream Hyperbolicam PIEQ ut arcus CZ ad arcum BC descensu descriptum. Et si perpendiculo RG abscindatur area Hyperbolica PIGR, quæ sit ad aream PIEQ ut arcus quilibet CD ad arcum BC descensu toto descriptum: erit resistentia in loco D ad vim gravitatis, ut area {OR ÷ OQ} IEF - IGH ad aream PIENM.
Nam cum vires a gravitate oriundæ quibus corpus in locis Z, B, D, a urgetur, sint ut arcus CZ, CB, CD, Ca, & arcus illi sint ut areæ PINM, PIEQ, PIGR, PITC; exponatur tum arcus tum vires per has areas respective. Sit insuper Dd spatium quam minimum a corpore descendente descriptum, & exponatur idem per aream quam minimam RGgr parallelis RG, rg comprehensam; & producatur rg ad h, ut sint GHhg, & RGgr contemporanea arearum IGH, PIGR decrementa. Et areæ {OR ÷ OQ} IEF - IGH incrementum GHhg - {Rr ÷ OQ} IEF, seu Rr × HG - {Rr ÷ OQ} IEF, erit ad areæ PIGR decrementum RGgr seu Rr × RG, ut HG - {IEF ÷ OQ} ad RG; adeoque ut OR × HG - {OR ÷ OQ} IEF ad OR × GR seu OP × PI: hoc est (ob æqualia OR × HG, OR × HR - OR × GR, ORHK - OPIK, PIHR & PIGR + IGH) ut PIGR + IGH - {OR ÷ OQ} IEF ad OPIK. Igitur si area {OR ÷ OQ} IEF - IGH dicatur Y, atque areæ PIGR decrementum RGgr detur, erit incrementum areæ Y ut PIGR - Y.
Quod si V designet vim a gravitate oriundam arcui describendo CD proportionalem, qua corpus urgetur in D; & R pro resistentia ponatur: erit V - R vis tota qua corpus urgetur in D, adeoque ut incrementum velocitatis in data temporis particula factum. Est autem resistentia R (per Hypothesin) ut quadratum velocitatis, & inde (per Lem. II.) incrementum resistentiæ ut velocitas & incrementum velocitatis conjunctim, id est ut spatium data temporis particula descriptum & V - R conjunctim; atque adeo, si momentum spatii detur, ut V - R; id est, si pro vi V scribatur ejus exponens PIGR, & resistentia R exponatur per aliam aliquam aream Z, ut PIGR - Z.
Igitur area PIGR per datorum momentorum subductionem uniformiter decrescente, crescunt area Y in ratione PIGR - Y, & area Z in ratione PIGR - Z. Et propterea si areæ Y & Z simul incipiant & sub initio æquales sint, hæ per additionem æqualium momentorum pergent esse æquales, & æqualibus itidem momentis subinde decrescentes simul evanescent. Et vicissim, si simul incipiunt & simul evanescunt, æqualia habebunt momenta & semper erunt æquales: id adeo quia si resistentia Z augeatur, velocitas una cum arcu illo Ca, qui in ascensu corporis describitur, diminuetur; & puncto in quo motus omnis una cum resistentia cessat propius accedente ad punctum C, resistentia citius evanescet quam area Y. Et contrarium eveniet ubi resistentia diminuitur.
Jam vero area Z incipit desinitque ubi resistentia nulla est, hoc est, in principio & fine motus, ubi arcus CD, CD arcubus CB & Ca æquantur, adeoque ubi recta RG incidit in rectas QE & CT. Et area Y seu {OR ÷ OQ} IEF - IGH incipit desinitque ubi nulla est, adeoque ubi {OR ÷ OQ} IEF & IGH æqualia sunt: hoc est (per constructionem) ubi recta RG incidit in rectam QE & CT. Proindeque areæ illæ simul incipiunt & simul evanescunt, & propterea semper sunt æquales. Igitur area {OR ÷ OQ} IEF - IGH æqualis est areæ Z, per quam resistentia exponitur, & propterea est ad aream PINM per quam gravitas exponitur, ut resistentia ad gravitatem. Q. E. D.
Corol. 1. Est igitur resistentia in loco infimo C ad vim gravitatis, ut area {OP ÷ OQ} IEF ad aream PINM.
Corol. 2. Fit autem maxima, ubi area PIHR est ad aream IEF ut OR ad OQ. Eo enim in casu momentum ejus (nimirum PIGR - Y) evadit nullum.
Corol. 3. Hinc etiam innotescit velocitas in locis singulis: quippe quæ est in dimidiata ratione resistentiæ, & ipso motus initio æquatur velocitati corporis in eadem Cycloide absque omni resistentia oscillantis.
Cæterum ob difficilem calculum quo resistentia & velocitas per hanc Propositionem inveniendæ sunt, visum est Propositionem sequentem subjungere, quæ & generalior sit & ad usus Philosophicos abunde satis accurata.
Prop. XXX. Theor. XXIII.
Si recta aB æqualis sit Cycloidis arcui quem corpus oscillando describit, & ad singula ejus puncta D erigantur perpendicula DK, quæ sint ad longitudinem Penduli ut resistentia corporis in arcus punctis correspondentibus ad vim gravitatis: dico quod differentia inter arcum descensu toto descriptum, & arcum ascensu toto subsequente descriptum, ducta in arcuum eorundem semisummam, æqualis erit areæ BKaB a perpendiculis omnibus DK occupatæ, quamproxime.
Exponatur enim tum Cycloidis arcus oscillatione integra descriptus, per rectam illam sibi æqualem aB, tum arcus qui describeretur in vacuo per longitudinem AB. Bisecetur AB in C, & punctum C repræsentabit infimum Cycloidis punctum, & erit CD ut vis a gravitate oriunda, qua corpus in D secundum Tangentem Cycloidis urgetur, eamque habebit rationem ad longitudinem Penduli quam habet vis in D ad vim gravitatis. Exponatur igitur vis illa per longitudinem CD, & vis gravitatis per longitudinem penduli; & si in DE capiatur DK in ea ratione ad longitudinem penduli quam habet resistentia ad gravitatem, erit DK exponens resistentiæ. Centro C & intervallo CA vel CB construatur semicirculus, BEeA. Describat autem corpus tempore quam minimo spatium Dd, & erectis perpendiculis DE, de circumferentiæ occurrentibus in E & e, erunt hæc ut velocitates quas corpus in vacuo, descendendo a puncto B, acquireret in locis D & d. Patet hoc per Prop. LII. Lib. I. Exponantur itaq; hæ velocitates per perpendicula illa DE, de; sitque DF velocitas quam acquirit in D cadendo de B in Medio resistente. Et si centro C & intervallo CF describatur circulus FfM occurrens rectis de & AB in f & M, erit M locus ad quem deinceps absque ulteriore resistentia ascenderet, & df velocitas quam acquireret in d. Unde etiam si Fg designet velocitatis momentum quod corpus D, describendo spatium quam minimum Dd, ex resistentia Medii amittit, & sumatur CN æqualis Cg: erit N locus ad quem corpus deinceps absque ulteriore resistentia ascenderet, & MN erit decrementum ascensus ex velocitatis illius amissione oriundum. Ad df demittatur perpendiculum Fm, & velocitatis DF decrementum fg a resistentia DK genitum, erit ad velocitatis ejusdem incrementum fma vi CD genitum, ut vis generans DK ad vim generantem CD. Sed & ob similia triangula Fmf, Fhg, FDC, est fm ad Fm seu Dd, ut CD ad DF, & ex æquo Fg ad Dd ut DK ad DF. Item Fg ad Fh ut CF ad DF; & ex æquo perturbate Fh seu MN ad Dd ut DK ad CF. Sumatur DR ad ½aB ut DK ad CF, & erit MN ad Dd ut DR ad ½aB; ideoque summa omnium MN × ½aB, id est Aa × ½aB, æqualis erit summæ omnium Dd × DR, id est areæ BRrSa, quam rectangula omnia Dd × DR seu DRrd componunt. Bisecentur Aa & aB in P & O, & erit ½aB seu OB æqualis CP, ideoque DR est ad DK ut CP ad CF vel CM, & divisim KR ad DR ut PM ad CP. Ideoque cum punctum M, ubi corpus versatur in medio oscillationis loco O, incidat circiter in punctum P, & priore oscillationis parte versetur inter A & P, posteriore autem inter P & a, utroque in casu æqualiter a puncto P in partes contrarias errans: punctum K circa medium oscillationis locum, id est e regione puncti O, puta in V, incidet in punctum R; in priore autem oscillationis parte jacebit inter R & E, & in posteriore inter R & D, utroque in casu æqualiter a puncto R in partes contrarias errans. Proinde area quam linea KR describit, priore oscillationis parte jacebit extra aream BRSa, posteriore intra eandem, idque dimensionibus hinc inde propemodum æquatis inter se; & propterea in casu priore addita areæ BRSa, in posteriore eidem subducta, relinquet aream BKTa areæ BRSa æqualem quam proxime. Ergo rectangulum Aa × ½aB seu AaO, cum sit æquale areæ BRSa, erit etiam æquale areæ BKTa quamproxime. Q. E. D.
Corol. Hinc ex lege resistentiæ & arcuum Ca, CB differentia Aa, colligi potest proportio resistentiæ ad gravitatem quam proxime.
Nam si uniformis sit resistentia DK, figura aBKkT rectangulum erit sub Ba & DK, & inde rectangulum sub ½Ba & Aa æqualis erit rectangulo sub Ba & DK, & DK æqualis erit ½Aa. Quare cum DK sit exponens resistentiæ, & longitudo penduli exponens gravitatis, erit resistentia ad gravitatem ut ½Aa ad longitudinem Penduli; omnino ut in Propositione XXVIII. demonstratum est.
Si resistentia sit ut velocitas, Figura aBKkT Ellipsis erit quam proxime. Nam si corpus, in Medio non resistente, oscillatione integra describeret longitudinem BA, velocitas in loco quovis D foret ut circuli diametro AB descripti ordinatim applicata DE. Proinde cum Ba in Medio resistente & BA in Medio non resistente, æqualibus circiter temporibus describantur; adeoque velocitates in singulis ipsius Ba punctis, sint quam proxime ad velocitates in punctis correspondentibus longitudinis BA, ut est Ba ad BA; erit velocitas DK in Medio resistente ut circuli vel Ellipseos super diametro Ba descripti ordinatim applicata; adeoque figura BKVTa Ellipsis, quam proxime. Cum resistentia velocitati proportionalis supponatur, sit OV exponens resistentiæ in puncto Medio O; & Ellipsis, centro O, semiaxibus OB, OV descripta, figuram aBKVT, eique æquale rectangulum Aa × BO, æquabit quam proxime. Est igitur Aa × BO ad OV × BO ut area Ellipseos hujus ad OV × BO: id est Aa ad OV ut area semicirculi, ad quadratum radii sive ut 11 and 7 circiter: Et propterea: 7/11Aa ad longitudinem penduli ut corporis oscillantis resistentia in O ad ejusdem gravitatem.
Quod si resistentia DK sit in duplicata ratione velocitatis, figura BKTVa Parabola erit verticem habens V & axem OV, ideoque æqualis erit duabus tertiis partibus rectanguli sub Ba & OV quam proxime. Est igitur rectangulum sub ½Ba & Aa æquale rectangulo sub ⅔Ba & OV, adeoque OV æqualis ¾Aa, & propterea corporis oscillantis resistentia in O ad ipsius gravitatem ut ¾Aa ad longitudinem Penduli.
Atque has conclusiones in rebus practicis abunde satis accuratas esse censeo. Nam cum Ellipsis vel Parabola congruat cum figura BKVTa in puncto medio V, hæc si ad partem alterutram BKV vel VTa excedit figuram illam, deficiet ab eadem ad partem alteram, & sic eidem æquabitur quam proxime.
Prop. XXXI. Theor. XXIV.
Si corporis oscillantis resistentia in singulis arcuum descriptorum partibus proportionalibus augeatur vel minuatur in data ratione; differentia inter arcum descensu descriptum & arcum subsequente ascensu descriptum, augebitur vel diminuetur in eadem ratione quamproxime.
Oritur enim differentia illa ex retardatione Penduli per resistentiam Medii, adeoque est ut retardatio tota eique proportionalis resistentia retardans. In superiore Propositione rectangulum sub recta ½aB & arcuum illorum CB, Ca differentia Aa, æqualis erat areæ BKT. Et area illa, si maneat longitudo aB, augetur vel diminuitur in ratione ordinatim applicatarum DK; hoc est in ratione resistentiæ, adeoque est ut longitudo aB & resistentia conjunctim. Proindeque rectangulum sub Aa & ½aB est ut aB & resistentia conjunctim, & propterea Aa ut resistentia. Q. E. D.
Corol. 1. Unde si resistentia sit ut velocitas, differentia arcuum in eodem Medio erit ut arcus totus descriptus: & contra.
Corol. 2. Si resistentia sit in duplicata ratione velocitatis, differentia illa erit in duplicata ratione arcus totius; & contra.
Corol. 3. Et universaliter, si resistentia sit in triplicata vel alia quavis ratione velocitatis, differentia erit in eadem ratione arcus totius; & contra.
Corol. 4. Et si resistentia sit partim in ratione simplici velocitatis, partim in ejusdem ratione duplicata, differentia erit partim in ratione arcus totius & partim in ejus ratione duplicata; & contra. Eadem erit lex & ratio resistentiæ pro velocitate, quæ est differentiæ illius pro longitudine arcus.
Corol. 5. Ideoque si, pendulo inæquales arcus successive describente, inveniri potest ratio incrementi ac decrementi resistentiæ hujus pro longitudine arcus descripti, habebitur etiam ratio incrementi ac decrementi resistentiæ pro velocitate majore vel minore.
SECT. VII.
De Motu Fluidorum & resistentia Projectilium.
Prop. XXXII. Theor. XXV.
Si corporum Systemata duo ex æquali particularum numero constent & particulæ correspondentes similes sint, singulæ in uno Systemate singulis in altero, ac datam habeant rationem densitatis ad invicem, & inter se temporibus proportionalibus similiter moveri incipiant, (eæ inter se quæ in uno sunt Systemate & eæ inter se quæ sunt in altero) & si non tangant se mutuo quæ in eodem sunt Systemate, nisi in momentis reflexionum, neque attrahant vel fugent se mutuo, nisi viribus acceleratricibus quæ sint ut particularum correspondentium diametri inverse & quadrata velocitatum directe: dico quod Systematum particulæ ille pergent inter se temporibus proportionalibus similiter moveri; & contra.
Corpora similia temporibus proportionalibus inter se similiter moveri dico, quorum situs ad invicem in fine temporum illorum semper sunt similes: puta si particulæ unius Systematis cum alterius particulis correspondentibus conferantur. Unde tempora erunt proportionalia, in quibus similes & proportionales figurarum similium partes a particulis correspondentibus describuntur. Igitur si duo sint ejusmodi Systemata, particulæ correspondentes, ob similitudinem incæptorum motuum, pergent similiter moveri usque donec sibi mutuo occurrant. Nam si nullis agitantur viribus, progredientur uniformiter in lineis rectis per motus Leg. I. Si viribus aliquibus se mutuo agitant, & vires illæ sint ut particularum correspondentium diametri inverse & quadrata velocitatum directe; quoniam particularum situs sunt similes & vires proportionales, vires totæ quibus particulæ correspondentes agitantur, ex viribus singulis agitantibus (per Legum Corollarium secundum) compositæ, similes habebunt determinationes, perinde ac si centra inter particulas similiter sita respicerent; & erunt vires illæ totæ ad invicem ut vires singulæ componentes, hoc est ut correspondentium particularum diametri inverse, & quadrata velocitatum directe: & propterea efficient ut correspondentes particulæ figuras similes describere pergant. Hæc ita se habebunt per Corol. 1. 2, & 7. Prop. IV. si modo centra illa quiescant. Sin moveantur, quoniam ob translationum similitudinem, similes manent eorum situs inter Systematum particulas; similes inducentur mutationes in figuris quas particulæ describunt. Similes igitur erunt correspondentium & similium particularum motus usque ad occursus suos primos, & propterea similes occursus, & similes reflexiones, & subinde (per jam ostensa) similes motus inter se, donec iterum in se mutuo inciderint, & sic deinceps in infinitum. Q. E. D.
Corol. 1. Hinc si corpora duo quævis, quæ similia sint & ad Systematum particulas correspondentes similiter sita, inter ipsas temporibus proportionalibus similiter moveri incipiant, sintque eorum densitates ad invicem ut densitates correspondentium particularum: hæc pergent temporibus proportionalibus similiter moveri. Est enim eadem ratio partium majorum Systematis utriusque atque particularum.
Corol. 2. Et si similes & similiter positæ Systematum partes omnes quiescant inter se: & earum duæ, quæ cæteris majores sint, & sibi mutuo in utroque Systemate correspondeant, secundum lineas similiter sitas simili cum motu utcunque moveri incipiant: hæ similes in reliquis systematum partibus excitabunt motus, & pergent inter ipsas temporibus proportionalibus similiter moveri; atque adeo spatia diametris suis proportionalia describere.
Prop. XXXIII. Theor. XXVI.
Iisdem positis, dico quod Systematum partes majores resistuntur in ratione composita ex duplicata ratione velocitatum suarum & duplicata ratione diametrorum & ratione densitatis partium Systematum.
Nam resistentia oritur partim ex viribus centripetis vel centrifugis quibus particulæ systematum se mutuo agitant, partim ex occursibus & reflexionibus particularum & partium majorum. Prioris autem generis resistentiæ sunt ad invicem ut vires totæ motrices a quibus oriuntur, id est ut vires totæ acceleratrices & quantitates materiæ in partibus correspondentibus; hoc est (per Hypothesin) ut quadrata velocitatum directe & distantiæ particularum correspondentium inverse & quantitates materiæ in partibus correspondentibus directe: ideoque (cum distantiæ particularum systematis unius sint ad distantias correspondentes particularum alterius, ut diameter particulæ vel partis in systemate priore ad diametrum particulæ vel partis correspondentis in altero, & quantitates materiæ sint ut densitates partium & cubi diametrorum) resistentiæ sunt ad invicem ut quadrata velocitatum & quadrata diametrorum & densitates partium Systematum. Q. E. D. Posterioris generis resistentiæ sunt ut reflexionum correspondentium numeri & vires conjunctim. Numeri autem reflexionum sunt ad invicem ut velocitates partium correspondentium directe, & spatia inter eorum reflexiones inverse. Et vires reflexionum sunt ut velocitates & magnitudines & densitates partium correspondentium conjunctim; id est ut velocitates & diametrorum cubi & densitates partium. Et conjunctis his omnibus rationibus, resistentiæ partium correspondentium sunt ad invicem ut quadrata velocitatum & quadrata diametrorum & densitates partium conjunctim. Q. E. D.
Corol. 1. Igitur si systemata illa sint Fluida duo Elastica ad modum Aeris, & partes eorum quiescant inter se: corpora autem duo similia & partibus fluidorum quoad magnitudinem & densitatem proportionalia, & inter partes illas similiter posita, secundum lineas similiter positas utcunque projiciantur; vires autem motrices, quibus particulæ Fluidorum se mutuo agitant, sint ut corporum projectorum diametri inverse, & quadrata velocitatum directe: corpora illa temporibus proportionalibus similes excitabunt motus in Fluidis, & spatia similia ac diametris suis proportionalia describent.
Corol. 2. Proinde in eodem Fluido projectile velox resistitur in duplicata ratione velocitatis quam proxime. Nam si vires, quibus particulæ distantes se mutuo agitant, augerentur in duplicata ratione velocitatis, projectile resisteretur in eadem ratione duplicata accurate; ideoque in Medio, cujus partes ab invicem distantes sese viribus nullis agitant, resistentia est in duplicata ratione velocitatis accurate. Sunto igitur Media tria A, B, C ex partibus similibus & æqualibus & secundum distantias æquales regulariter dispositis constantia. Partes Mediorum A & B fugiant se mutuo viribus quæ sint ad invicem ut T & V, illæ Medii C ejusmodi viribus omnino destituantur. Et si corpora quatuor æqualia D, E, F, G in his Mediis moveantur, priora duo D & E in prioribus duobus A & B, & altera duo F & G in tertio C; sitque velocitas corporis D ad velocitatem corporis E, & velocitas corporis F ad velocitatem corporis G, in dimidiata ratione virium T ad vires V; resistentia corporis D erit ad resistentiam corporis E, & resistentia corporis F ad resistentiam corporis G in velocitatum ratione duplicata; & propterea resistentia corporis D erit ad resistentiam corporis F ut resistentia corporis E ad resistentiam corporis G. Sunto corpora D & F æquivelocia ut & corpora E & G; & augendo velocitates corporum D & F in ratione quacunque, ac diminuendo vires particularum Medii B in eadem ratione duplicata, accedet Medium B ad formam & conditionem Medii C pro lubitu, & idcirco resistentiæ corporum æqualium & æquivelocium E & G in his Mediis, perpetuo accedent ad æqualitatem, ita ut earum differentia evadat tandem minor quam data quævis. Proinde cum resistentiæ corporum D & F sint ad invicem ut resistentiæ corporum E & G, accedent etiam hæ similiter ad rationem æqualitatis. Corporum igitur D & F, ubi velocissime moventur, resistentiæ sunt æquales quam proxime: & propterea cum resistentia corporis F sit in duplicata ratione velocitatis, erit resistentia corporis D in eadem ratione quamproxime. Q. E. D.
Corol. 3. Igitur corporis in Fluido quovis Elastico velocissime moventis eadem fere est resistentia ac si partes Fluidi viribus suis centrifugis destituerentur, seque mutuo non fugerent: si modo Fluidi vis Elastica ex particularum viribus centrifugis oriatur.
Corol. 4. Proinde cum resistentiæ similium & æquivelocium corporum, in Medio cujus partes distantes se mutuo non fugiunt, sint ut quadrata diametrorum, sunt etiam æquivelocium & celerrime moventium corporum resistentiæ in Fluido Elastico ut quadrata diametrorum quam proxime.
Corol. 5. Et cum corpora similia, æqualia & æquivelocia, in Mediis ejusdem densitatis, quorum particulæ se mutuo non fugiunt, sive particulæ illæ sint plures & minores, sive pauciores & majores, in æqualem materiæ quantitatem temporibus æqualibus inpingant, eique æqualem motus quantitatem imprimant, & vicissim (per motus Legem tertiam) æqualem ab eadem reactionem patiantur, hoc est, æqualiter resistantur: manifestum est etiam quod in ejusdem densitatis Fluidis Elasticis, ubi velocissime moventur, æquales sint eorum resistentiæ quam proxime; sive Fluida illa ex particulis crassioribus constent, sive ex omnium subtilissimis constituantur. Ex Medii subtilitate resistentia projectilium celerrime motorum non multum diminuitur.
Corol. 6. Cum autem particulæ Fluidorum, propter vires quibus se mutuo fugiunt, moveri nequeant quin simul agitent particulas alias in circuitu, atque adeo difficilius moveantur inter se quam si viribus istis destituerentur; & quo majores sint earum vires centrifugæ, eo difficilius moveantur inter se: manifestum esse videtur quod projectile in tali Fluido eo difficilius movebitur, quo vires illæ sunt intensiores; & propterea si corporis velocissimi in superioribus Corollariis velocitas diminuatur, quoniam resistentia diminueretur in duplicata ratione velocitatis, si modo vires particularum in eadem ratione duplicata diminuerentur; vires autem nullatenus diminuantur, manifestum est quod resistentia diminuetur in ratione minore quam duplicata velocitatis.
Corol. 7. Porro cum vires centrifugæ eo nomine ad augendam resistentiam conducant, quod particulæ motus suos per Fluidum ad majorem a se distantiam per vires illas propagent; & cum distantia illa minorem habeat rationem ad majora corpora: manifestum est quod augmentum resistentiæ ex viribus illis oriundum in corporibus majoribus minoris sit momenti; & propterea, quo corpora sint majora eo magis accurate resistentia tardescentium decrescet in duplicata ratione velocitatis.
Corol. 8. Unde etiam ratio illa duplicata magis accurate obtinebit in Fluidis quæ, pari densitate & vi Elastica, ex particulis minoribus constant. Nam si corpora illa majora diminuantur, & particulæ Fluidi, manente ejus densitate & vi Elastica, diminuantur in eadem ratione; manebit eadem ratio resistentiæ quæ prius: ut ex præcedentibus facile colligitur.
Corol. 9. Hæc omnia ita se habent in Fluidis, quorum vis Elastica ex particularum viribus centrifugis originem ducit. Quod si vis illa aliunde oriatur, veluti ex particularum expansione ad instar Lanæ vel ramorum arborum, aut ex alia quavis causa, qua motus particularum inter se redduntur minus liberi: resistentia, ob minorem Medii fluiditatem, erit major quam in superioribus Corollariis.
Prop. XXXIV. Theor. XXVII.
Quæ in præcedentibus duabus Propositionibus demonstrata sunt, obtinent ubi particulæ Systematum se mutuo contingunt, si modo particulæ illæ sint summe lubricæ.
Concipe particulas viribus quibusdam se mutuo fugere, & vires illas in accessu ad superficies particularum augeri in infinitum, & contra, in recessu ab iisdem celerrime diminui & statim evanescere. Concipe etiam systemata comprimi, ita ut partes eorum se mutuo contingant, nisi quatenus vires illæ contactum impediunt. Sint autem spatia per quæ vires particularum diffunduntur quam angustissima, ita ut particulæ se mutuo quam proxime contingant: & motus particularum inter se iidem erunt quam proxime ac si se mutuo contingerent. Eadem facilitate labentur inter se ac si essent summe lubricæ, & si impingant in se mutuo reflectentur ab invicem ope virium præfatarum, perinde ac si essent Elasticæ. Itaque motus erunt iidem in utroque casu, nisi quatenus perexigua particularum sese non contingentium intervalla diversitatem efficiant: quæ quidem diversitas diminuendo particularum intervalla diminui potest in infinitum. Jam vero quæ in præcedentibus duabus Propositionibus demonstrata sunt, obtinent in particulis sese non contingentibus, idque licet intervalla particularum, diminuendo spatia per quæ vires diffunduntur, diminuantur in infinitum. Et propterea eadem obtinent in particulis sese contingentibus, exceptis solum differentiis quæ tandem differentiis quibusvis datis minores evadant. Dico igitur quod accurate obtinent. Si negas, assigna differentiam in casu quocunque. Atqui jam probatum est quod differentia minor sit quam data quævis. Ergo differentia falso assignatur, & propterea nulla est. Q. E. D.
Corol. 1. Igitur si Systematum duorum partes omnes quiescant inter se, exceptis duabus, quæ cæteris majores sint & sibi mutuo correspondeant inter cæteras similiter sitæ. Hæ secundum lineas similiter positas utcunque projectæ similes excitabunt motus in Systematibus, & temporibus proportionalibus pergent spatia similia & diametris suis proportionalia describere; & resistentur in ratione composita ex duplicata ratione velocitatum & duplicata ratione diametrorum & ratione densitatis Systematum.
Corol. 2. Unde si Systemata illa sint Fluida duo similia, & eorum partes duæ majores sint corpora in iisdem projecta: sint autem Fluidorum particulæ summe lubricæ, & quoad magnitudinem & densitatem proportionales corporibus: pergent corpora temporibus proportionalibus spatia similia & diametris suis proportionalia describere, & resistentur in ratione Corollario superiore definita.
Corol. 3. Proinde in eodem Fluido Projectile magnitudine datum resistitur in duplicata ratione velocitatis.
Corol. 4. At si particulæ Fluidi non sint summe lubricæ, vel si viribus quibuscunque se mutuo agitant, quibus motuum libertas diminuitur: Projectilia tardiora difficilius superabunt resistentiam, & propterea magis resistentur quam in velocitatis ratione duplicata.
Prop. XXXV. Theor. XXVIII.
Si Globus & Cylindrus æqualibus diametris descripti, in Medio raro & Elastico, secundum plagam axis Cylindri, æquali cum velocitate celerrime moveantur: erit resistentia Globi duplo minor quam resistentia Cylindri.